Polinômios

Um polinômio é uma expressão que contém a variável x e as operações usuais de adição, multiplicação e potenciação com expoente inteiro não negativo. Também podemos somar, subtrair, multiplicar, dividir e elevar esses polinômios a uma potência.

Relações básicas

Um exemplo de polinômio simples pode ser o polinômio:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Em geral, poderíamos escrever um polinômio assim

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

em que os números reais que multiplicam x, isto é, a_n, se chamam coeficientes e n se chama grau do polinômio. O número n corresponde à maior potência do polinômio, em que a_n ≠ 0. Se a_n fosse igual a zero, então na prática eliminaríamos a variável x à qual o coeficiente pertence, pois zero vezes qualquer coisa é zero:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Assim, no caso do primeiro polinômio mencionado, o grau do polinômio é dois, porque a maior potência não nula da variável x é dois. No caso de outro polinômio

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

o grau do polinômio seria 4 (o maior expoente é 4). Normalmente escrevemos os polinômios em ordem decrescente dos expoentes usados, para ter em primeiro lugar o termo com a maior potência. Assim, o polinômio anterior pode ser reescrito desta forma:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Vemos que no polinômio falta o termo cuja variável teria expoente três e zero. Isso não atrapalha em nada, basta imaginar que o coeficiente desses termos é zero. Podemos, de fato, escrever

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Embora agora já tenhamos todos os termos, o polinômio fica desnecessariamente confuso. Por isso normalmente omitimos os termos nulos.

Adição e subtração de polinômios

A adição e a subtração de polinômios são bem simples. Sempre apenas somamos ou subtraímos os coeficientes dos termos com o mesmo expoente. Ou seja, vale

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Um exemplo simples:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Se queremos somar polinômios mais longos, precisamos sempre juntar os termos com o mesmo expoente na variável.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Se um termo com determinado expoente não aparece no polinômio, ele permanece inalterado (imagine que no outro polinômio existe esse termo, mas com coeficiente zero).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

A subtração de polinômios funciona como a adição, só que multiplicamos o segundo polinômio por menos um, isto é, trocamos todos os sinais. Segue um exemplo:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

E isso já é a adição clássica de polinômios, então pode ser somada como sempre:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Lembro que, se no polinômio existe um termo negativo, depois dessa transformação ele passa a ser positivo.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Multiplicação de polinômios

Na multiplicação de polinômios, multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio. Os coeficientes são multiplicados normalmente, como números reais comuns. Já os expoentes das variáveis apenas somamos, segundo as regras de cálculo com potências. Segue um exemplo:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Esse exemplo ainda trabalhou com um polinômio de um só termo, então não mostrou claramente a multiplicação entre todos os termos do polinômio. Segue um exemplo um pouco mais extenso:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Se aparece um sinal de menos no polinômio, ele se manifesta normalmente na multiplicação.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Simplificação de polinômios

Ao simplificar polinômios, normalmente queremos transformar o polinômio de modo que ele fique mais simples. Para isso usamos recursos como a ampliação, a simplificação, a colocação em evidência, a aplicação de fórmulas e assim por diante. Seria bom conhecer essas fórmulas. Uma lista de fórmulas úteis pode ser encontrada em outro lugar. Aqui vamos usar algumas delas, que mencionarei aos poucos. Uma fórmula clássica, muito usada, é a fórmula

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Se você tiver curiosidade de saber como essa fórmula surgiu, basta desenvolver o produto.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Vamos começar com um exemplo simples.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Desenvolvemos os dois parênteses da esquerda pela fórmula que apresentei acima. Lembro que o segundo parêntese foi desenvolvido assim

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Outra fórmula clássica é

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Segue o segundo exemplo, desta vez com uma fração. No numerador e no denominador há polinômios, e vamos tentar transformá-los de modo que a fração inteira possa ser simplificada de forma bonita. No primeiro passo, no numerador, aplicamos a primeira fórmula, só que ao contrário. No denominador aplicamos a segunda fórmula. No final apenas simplificamos (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

No terceiro exemplo vamos tentar aplicar a colocação em evidência. No numerador, primeiro colocamos 3a³ em evidência e em seguida fatoramos o parêntese (4a² − 1) pela fórmula a² − b², aproveitando que

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

No denominador, primeiro simplesmente multiplicamos os dois primeiros termos, também colocamos 3a³ em evidência e por fim simplificamos tudo.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

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