Polynômes

Un polynôme est une expression qui contient une variable x et les opérations usuelles d’addition, de multiplication et de puissance à exposant entier positif ou nul. Les polynômes peuvent aussi être additionnés, soustraits, multipliés, divisés et élevés à une puissance.

Relations fondamentales

Un exemple simple de polynôme est :

$2 x^{2} + 5 x - 12$

De manière générale, on peut écrire un polynôme ainsi :

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

où les nombres réels placés devant x, c’est-à-dire les a_n, sont appelés coefficients, et n est le degré du polynôme. Le nombre n correspond à la plus haute puissance du polynôme, pour laquelle a_n ≠ 0. Si a_n valait zéro, on supprimerait en fait la variable x à laquelle appartient le coefficient, car zéro fois n’importe quoi vaut zéro :

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Ainsi, pour le premier polynôme mentionné, le degré est deux, car la plus haute puissance non nulle de x est deux. Pour le polynôme

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

le degré vaut 4 (le plus grand exposant est 4). On écrit en général les polynômes par ordre décroissant des exposants, afin que le terme de plus haute puissance soit en premier. Le polynôme précédent peut donc s’écrire ainsi :

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

On voit que le terme dont la variable porte l’exposant trois manque dans ce polynôme, ainsi que le terme constant. Ce n’est pas grave : on imagine simplement que le coefficient de ces termes est nul. On peut en effet écrire

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Nous avons bien là tous les termes, mais le polynôme devient inutilement peu lisible. On omet donc d’ordinaire les termes nuls.

Addition et soustraction de polynômes

L’addition et la soustraction de polynômes sont assez simples. On additionne ou soustrait toujours seulement les coefficients des termes de même exposant. Ainsi :

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Exemple simple :

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Pour additionner des polynômes plus longs, il faut toujours regrouper les termes de même exposant de la variable.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Si un terme d’un exposant donné n’apparaît pas dans le polynôme, il reste inchangé (imagine que ce terme figure dans le second polynôme avec un coefficient nul).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

La soustraction de polynômes fonctionne comme l’addition, à ceci près que l’on multiplie le second polynôme par moins un, c’est-à-dire que l’on change tous ses signes. Exemple :

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Il s’agit alors d’une addition classique de polynômes, que l’on calcule comme d’habitude :

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Rappelons que si le polynôme contient un terme négatif, celui-ci devient positif après cette transformation.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Multiplication de polynômes

Pour multiplier des polynômes, on multiplie chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second. Les coefficients se multiplient normalement, comme des nombres réels ordinaires. En revanche, les exposants des variables s’additionnent selon les règles de calcul sur les puissances. Voici un exemple :

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Cet exemple ne portait que sur un polynôme à un seul terme, il ne montre donc pas clairement la multiplication de chaque terme avec tous les autres. Voici un exemple un peu plus long :

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Si un signe moins apparaît dans le polynôme, il se manifeste normalement lors de la multiplication.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Simplification de polynômes

Lorsqu’on transforme des polynômes, on cherche en général à les rendre plus simples. Pour cela, on utilise des procédés comme la multiplication du numérateur et du dénominateur par un même nombre, la simplification, la mise en facteur, l’application de formules, etc. Il est recommandé de connaître ces formules. Une liste de formules utiles se trouve ailleurs ; nous en utiliserons certaines, que je présenterai au fur et à mesure. La formule classique est :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Si tu veux savoir comment cette formule est obtenue, il suffit de développer.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Commençons par un exemple simple.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Nous avons développé les deux parenthèses de gauche selon la formule présentée plus haut. Rappelons que la seconde parenthèse se développe ainsi :

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Une autre formule classique est :

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Voici un deuxième exemple, cette fois avec une fraction. Le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes, et nous allons les transformer afin que la fraction se simplifie joliment. Au numérateur, nous appliquons d’abord la première formule, mais dans le sens inverse. Au dénominateur, nous appliquons la seconde formule. Enfin, nous simplifions simplement par (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

Le troisième exemple est l’occasion d’appliquer la mise en facteur. Au numérateur, on met d’abord 3a³ en facteur, puis on décompose la parenthèse (4a² − 1) selon la formule a² − b², où l’on utilise le fait que

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

Au dénominateur, on commence par multiplier simplement les deux premiers termes, on met aussi 3a³ en facteur, et enfin on simplifie tout.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Chapitres: Polynômes, Division de polynômes par un polynôme, Racine d’un polynôme, Factorisation de polynômes en produit

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