Polynomit

Polynomi on lauseke, joka sisältää muuttujan x sekä tavalliset laskutoimitukset yhteenlaskun, kertolaskun ja potenssiin korotuksen ei-negatiivisella kokonaislukueksponentilla. Polynomeja voi myös laskea yhteen, vähentää, kertoa, jakaa ja korottaa potenssiin.

Perusasiat

Esimerkki yksinkertaisesta polynomista on polynomi:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Yleisesti polynomin voisi kirjoittaa näin

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

missä muuttujan x edessä olevia reaalilukuja eli lukuja a_n kutsutaan kertoimiksi ja n:ää kutsutaan polynomin asteeksi. Luku n vastaa polynomin korkeinta potenssia, jossa a_n ≠ 0. Jos a_n olisi nolla, poistaisimme käytännössä muuttujan x, jonka kerroin se on, koska nolla kertaa mikä tahansa on nolla:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Ensimmäisenä mainitun polynomin aste on siis kaksi, koska muuttujan x suurin nollasta poikkeava potenssi on kaksi. Toisen polynomin

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

aste olisi 4 (suurin eksponentti on 4). Yleensä polynomit kirjoitetaan laskevassa järjestyksessä käytettyjen eksponenttien mukaan, jotta ensimmäisenä on termi, jossa on korkein potenssi. Edellisen polynomin voi siis kirjoittaa uudelleen näin:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Näemme, että polynomista puuttuvat termit, joiden muuttujan eksponentti on kolme ja nolla. Se ei haittaa lainkaan, vaan kuvittelemme yksinkertaisesti, että näiden termien kerroin on nolla. Voimme nimittäin kirjoittaa

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Nyt meillä on kyllä kaikki termit, mutta polynomista tulee turhan sekava. Siksi nollatermit yleensä jätetään pois.

Polynomien yhteen- ja vähennyslasku

Polynomien yhteen- ja vähennyslasku on melko yksinkertaista. Aina vain lasketaan yhteen tai vähennetään niiden termien kertoimet, joilla on sama eksponentti. Siis pätee

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Yksinkertainen esimerkki:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Jos haluamme laskea yhteen pidempiä polynomeja, meidän on aina poimittava termit, joissa muuttujan eksponentti on sama.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Jos polynomissa ei ole termiä, jolla on kyseinen eksponentti, se jää ennalleen (kuvittele, että toisessa polynomissa on tällainen termi, mutta sen kerroin on nolla).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Polynomien vähennyslasku toimii samoin kuin yhteenlasku, ainoastaan toinen polynomi kerrotaan miinus yhdellä eli kaikki etumerkit vaihdetaan. Esimerkki:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Ja tämä on jo tavallinen polynomien yhteenlasku, joten se voidaan laskea yhteen kuten aina:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Muistutan, että jos polynomissa on negatiivinen termi, se muuttuu tässä muunnoksessa positiiviseksi.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Polynomien kertolasku

Polynomeja kerrottaessa kerrotaan ensimmäisen polynomin jokainen termi toisen polynomin jokaisella termillä. Kertoimet kerrotaan normaalisti kuten tavalliset reaaliluvut. Muuttujien eksponentit sen sijaan vain lasketaan yhteen potenssien laskusääntöjen mukaan. Seuraavassa on esimerkki:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Tässä esimerkissä toinen polynomi oli yksitermiinen, joten se ei näyttänyt havainnollisesti kertolaskua kaikkien polynomin termien välillä. Hieman laajempi esimerkki:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Jos polynomissa on miinusmerkki, se tulee normaalisti mukaan kertolaskuun.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Polynomien sieventäminen

Polynomeja sievennettäessä haluamme yleensä muuttaa polynomin yksinkertaisemmaksi. Siihen käytetään esimerkiksi laventamista, supistamista, yhteisen tekijän erottamista ja kaavojen soveltamista. Nämä kaavat kannattaa tuntea. Käytämme tässä joitakin niistä, jotka mainitsen sitä mukaa kuin niitä tarvitaan. Klassinen usein käytetty kaava on

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Jos haluat tietää, miten tämä kaava syntyi, riittää kertoa lauseke auki.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Aloitetaan yksinkertaisella esimerkillä.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Kerroimme molemmat vasemmat sulut auki yllä esitetyn kaavan mukaan. Muistutan, että toisen sulun kehitimme näin:

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Toinen klassinen kaava on

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Seuraavana on toinen esimerkki, tällä kertaa murtolausekkeella. Osoittajassa ja nimittäjässä on polynomeja, ja yritämme muokata niitä niin, että koko murtoluvun voi supistaa mukavasti. Ensimmäisessä vaiheessa sovellamme osoittajassa ensimmäistä kaavaa, mutta toisin päin. Nimittäjässä sovellamme toista kaavaa. Lopuksi supistamme vain tekijän (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

Kolmannessa esimerkissä kokeilemme yhteisen tekijän erottamista. Osoittajasta erotetaan ensin 3a³ ja sen jälkeen jaetaan tekijöihin sulku (4a² − 1) kaavalla a² − b², jossa hyödynnetään sitä, että

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

Nimittäjässä kerrotaan ensin kaksi ensimmäistä termiä yksinkertaisesti keskenään, erotetaan siitäkin 3a³ ja lopuksi supistetaan kaikki.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Luvut: Polynomit, Polynomien jakolasku polynomilla, Polynomin nollakohta, Polynomin jakaminen tekijöihin

« Edellinen: Miksi nollalla ei voi jakaa

Seuraava: Polynomien jakolasku polynomilla »