Polinomok

A polinom olyan kifejezés, amely az x változót, valamint az összeadás, a szorzás és a nemnegatív egész kitevőjű hatványozás szokásos műveleteit tartalmazza. Ezeket a polinomokat összeadhatjuk, kivonhatjuk, szorozhatjuk, oszthatjuk és hatványozhatjuk is. A polinomot többtagú kifejezésnek is nevezzük.

Alapfogalmak

Egyszerű polinom például a

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Általában a polinomot így írhatnánk fel:

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

ahol az x előtt álló valós számokat, vagyis az a_n-eket együtthatóknak nevezzük, az n-et pedig a polinom fokának. Az n szám a polinom legmagasabb hatványának felel meg, ahol a_n ≠ 0. Ha a_n nulla lenne, lényegében megszüntetnénk az x változót, amelyhez az együttható tartozik, hiszen a nulla bármennyiszerese nulla:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Az elsőként említett polinomnál tehát a polinom foka kettő, mert az x változó legmagasabb nem nulla hatványa a második. Egy másik polinomnál,

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

a polinom foka 4 lenne (a legnagyobb kitevő 4). A polinomokat rendszerint a kitevők szerint csökkenő sorrendben írjuk fel, hogy az első helyen a legmagasabb hatványú tag álljon. Az előző polinomot tehát átírhatjuk így:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Látjuk, hogy a polinomból hiányoznak azok a tagok, amelyekben a változó kitevője három, illetve nulla. Ez egyáltalán nem baj, egyszerűen úgy képzeljük, hogy ezeknél a tagoknál az együttható nulla. Hiszen felírhatjuk így:

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Így már minden tag ott van, de a polinom feleslegesen áttekinthetetlen. A nulla együtthatós tagokat ezért általában elhagyjuk.

Polinomok összeadása és kivonása

A polinomok összeadása és kivonása meglehetősen egyszerű. Mindig csak az azonos kitevőjű tagok együtthatóit adjuk össze, illetve vonjuk ki. Tehát érvényes, hogy

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Egyszerű példa:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Ha hosszabb polinomokat akarunk összeadni, mindig az azonos kitevőjű tagokat kell kiválogatnunk.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Ha az adott kitevőjű tag nem fordul elő a polinomban, változatlanul marad (képzeld el, hogy a másik polinomban van ilyen tag, csak nulla együtthatóval).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

A polinomok kivonása ugyanúgy működik, mint az összeadás, csak a második polinomot megszorozzuk mínusz eggyel, vagyis minden előjelet az ellenkezőjére változtatunk. Következzen egy példa:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Ez pedig már a szokásos polinomösszeadás, úgyhogy összeadhatjuk, mint mindig:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Emlékeztetőül: ha a polinomban negatív tag van, az ennek az átalakításnak a hatására pozitívvá változik.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Polinomok szorzása

Polinomok szorzásakor az első polinom minden tagját megszorozzuk a második polinom minden tagjával. Az együtthatókat a szokásos módon szorozzuk, mint a közönséges valós számokat. A változók kitevőit viszont csak összeadjuk a hatványok számolási szabályai szerint. Íme egy példa:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Ebben a példában még egytagú polinommal szoroztunk, ezért nem látszott szemléletesen, hogyan szorzunk minden tagot minden taggal. Egy kicsit terjedelmesebb példa következik:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Ha a polinomban mínuszjel szerepel, az a szorzásban is természetesen megjelenik.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Polinomok átalakítása

Polinomok átalakításakor általában az a célunk, hogy a polinomot egyszerűbbé tegyük. Ehhez olyan eszközöket használunk, mint a bővítés, az egyszerűsítés, a kiemelés, a képletek alkalmazása és hasonlók. Ezeket a képleteket érdemes ismerni. Mi itt néhányat használni fogunk közülük, amelyeket idővel megemlítek. Az egyik klasszikus képlet, amelyet használunk, ez:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Ha érdekel, hogyan jött létre ez a képlet, elég felbontani a zárójelet.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Kezdjük valamilyen egyszerű példával.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Mindkét bal oldali zárójelet felbontottuk a fent megadott képlet szerint. Emlékeztetőül: a második zárójelet így bontottuk fel:

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Egy másik klasszikus képlet:

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Következik a második példa, ezúttal törttel. A számlálóban és a nevezőben is polinom áll, és megpróbáljuk úgy átalakítani őket, hogy az egész tört szépen egyszerűsíthető legyen. Az első lépésben a számlálóban az első képletet alkalmazzuk, csak fordítva. A nevezőben a második képletet alkalmazzuk. A végén már csak egyszerűsítünk az (a + b) tényezővel.

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

A harmadik példában a kiemelést próbáljuk ki. A számlálóban először kiemeljük a 3a³ tényezőt, majd a (4a² − 1) zárójelet felbontjuk az a² − b² képlet szerint, kihasználva, hogy

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

A nevezőben aztán először egyszerűen összeszorozzuk az első két tagot, szintén kiemeljük a 3a³ tényezőt, és végül mindent egyszerűsítünk.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Fejezetek: Polinomok, Polinomok osztása, A polinom gyöke, Szorzattá alakítás

« Előző: Miért nem lehet nullával osztani

Következő: Polinomok osztása »