Polynomier

Et polynomium er et udtryk, der indeholder variablen x og de sædvanlige operationer addition, multiplikation og potensopløftning med en ikke-negativ heltalseksponent. Disse polynomier kan vi også lægge sammen, trække fra hinanden, gange, dividere og opløfte i potens.

Grundlæggende sammenhænge

Et eksempel på et simpelt polynomium kan være polynomiet:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Generelt kunne vi skrive et polynomium sådan her

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

hvor de reelle tal foran x, altså a_n, kaldes koefficienter, og n kaldes polynomiets grad. Tallet n svarer til polynomiets højeste potens, hvor a_n ≠ 0. Hvis a_n var lig med nul, ville vi i bund og grund fjerne variablen x, som koefficienten hører til, fordi nul gange alt er nul:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

For det først nævnte polynomium gælder altså, at polynomiets grad er to, fordi den højeste ikke-nul potens af variablen x er to. For et andet polynomium

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

ville polynomiets grad være 4 (den højeste eksponent er 4). Som regel skriver vi polynomier med faldende eksponenter, så vi har leddet med den højeste potens først. Det foregående polynomium kan vi derfor omskrive sådan her:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Vi ser, at der i polynomiet mangler led, hvis variabel skulle have eksponenten tre og nul. Det gør slet ikke noget, vi forestiller os simpelthen, at koefficienten ved disse led er nul. Vi kan nemlig skrive

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Nu har vi ganske vist alle led med, men polynomiet er unødigt uoverskueligt. Led med koefficienten nul udelader vi derfor som regel.

Addition og subtraktion af polynomier

Addition og subtraktion af polynomier er ret enkelt. Vi lægger altid blot koefficienterne ved led med den samme eksponent sammen eller trækker dem fra hinanden. Der gælder altså

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Et simpelt eksempel:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Hvis vi vil lægge længere polynomier sammen, skal vi altid sætte led med den samme eksponent ved variablen sammen.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Hvis et led med en given eksponent ikke findes i polynomiet, forbliver det uændret (forestil dig, at det andet polynomium har sådan et led, men med koefficienten nul).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Subtraktion af polynomier fungerer ligesom addition, vi ganger blot det andet polynomium med minus en, altså skifter alle fortegn. Her følger et eksempel:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Og det er allerede klassisk addition af polynomier, så det kan lægges sammen som altid:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Husk, at hvis der i polynomiet findes et negativt led, ændres det efter denne omformning til et positivt.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Multiplikation af polynomier

Når vi ganger polynomier, ganger vi hvert led i det første polynomium med hvert led i det andet polynomium. Koefficienterne ganger vi helt normalt, som almindelige reelle tal. Eksponenterne ved variablerne lægger vi derimod blot sammen efter reglerne for regning med potenser. Her følger et eksempel:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Dette eksempel arbejdede stadig med et polynomium med ét led, så det viste ikke tydeligt multiplikation på tværs af alle polynomiets led. Et lidt mere omfattende eksempel følger:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Hvis der optræder et minustegn i polynomiet, kommer det helt normalt til udtryk i multiplikationen.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Reduktion af polynomier

Ved reduktion af polynomier vil vi som regel omforme polynomiet, så det bliver enklere. Til det bruger vi ting som forlængelse, forkortelse, at sætte uden for parentes, anvendelse af formler og lignende. Det ville være godt at kende disse formler. Vi bruger her nogle af dem, som jeg nævner løbende. En klassisk formel, som bruges, er formlen

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Hvis du er nysgerrig efter, hvordan denne formel opstod, behøver du blot at gange den ud.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Vi begynder med et simpelt eksempel.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Begge parenteser til venstre ganger vi ud efter den formel, som jeg anførte ovenfor. Husk, at den anden parentes blev opløst som

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

En anden klassisk formel er

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Nu følger et andet eksempel, denne gang med en brøk. I tælleren og i nævneren står der polynomier, og vi forsøger at omforme dem, så hele brøken kan forkortes pænt. I første skridt anvender vi i tælleren den første formel, blot omvendt. I nævneren anvender vi den anden formel. Til sidst forkorter vi blot (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

I det tredje eksempel prøver vi at sætte uden for parentes. I tælleren sætter vi først 3a³ uden for parentes og opløser derefter parentesen (4a² − 1) efter formlen a² − b², hvor vi udnytter, at

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

I nævneren ganger vi så først simpelthen de to første led, sætter også 3a³ uden for parentes og forkorter til sidst det hele.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Kapitler: Polynomier, Division af polynomier, Rod i et polynomium, Opløsning af polynomier i faktorer

« Forrige: Hvorfor man ikke kan dividere med nul

Næste: Division af polynomier »