Veeltermen

Een veelterm is een uitdrukking die de variabele x bevat en de gewone bewerkingen optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen met een niet-negatieve gehele exponent. Zulke veeltermen kunnen we ook optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en tot een macht verheffen. Veeltermen noemen we ook polynomen.

Basisbegrippen

Een voorbeeld van een eenvoudige veelterm is de veelterm:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

In het algemeen kunnen we een veelterm zo schrijven

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

waarbij de reële getallen voor x, dus a_n, coëfficiënten heten en n de graad van de veelterm wordt genoemd. Het getal n komt overeen met de hoogste macht van de veelterm waarvoor a_n ≠ 0. Als a_n gelijk zou zijn aan nul, zouden we eigenlijk de variabele x waar de coëfficiënt bij hoort laten verdwijnen, want nul maal alles is nul:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Voor de eerstgenoemde veelterm geldt dus dat de graad twee is, omdat de hoogste macht van de variabele x met een coëfficiënt ongelijk aan nul twee is. Bij een andere veelterm

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

zou gelden dat de graad van de veelterm 4 is (de hoogste exponent is 4). Meestal schrijven we veeltermen op met aflopende exponenten, zodat vooraan de term met de hoogste macht staat. De vorige veelterm kunnen we dus zo herschrijven:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

We zien dat in de veelterm de term ontbreekt waarvan de variabele exponent drie en nul heeft. Dat geeft helemaal niets, we denken er gewoon bij dat de coëfficiënt van deze termen nul is. We kunnen immers schrijven

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Nu hebben we wel alle termen, maar de veelterm is onnodig onoverzichtelijk. Termen met coëfficiënt nul laten we daarom meestal weg.

Veeltermen optellen en aftrekken

Veeltermen optellen en aftrekken is vrij eenvoudig. We tellen steeds alleen de coëfficiënten van termen met dezelfde exponent op of trekken ze af. Er geldt dus

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Een eenvoudig voorbeeld:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Als we langere veeltermen willen optellen, moeten we altijd de termen met dezelfde exponent van de variabele bij elkaar zoeken.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Als een term met een bepaalde exponent in de veelterm niet voorkomt, blijft hij ongewijzigd (denk je in dat die term in de tweede veelterm wel staat, maar met coëfficiënt nul).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Aftrekken van veeltermen werkt net als optellen, alleen vermenigvuldigen we de tweede veelterm met min één, dus we keren alle tekens om. Een voorbeeld:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

En dat is gewoon het optellen van veeltermen, dus dat kunnen we zoals altijd optellen:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Bedenk dat als een veelterm een negatieve term heeft, die na deze omvorming positief wordt.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Veeltermen vermenigvuldigen

Bij het vermenigvuldigen van veeltermen vermenigvuldigen we elke term van de eerste veelterm met elke term van de tweede veelterm. De coëfficiënten vermenigvuldigen we gewoon, als gewone reële getallen. De exponenten van de variabelen tellen we daarentegen alleen op volgens de rekenregels voor machten. Hier volgt een voorbeeld:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Dit voorbeeld werkte nog met een veelterm van één term en liet dus niet duidelijk zien hoe we over alle termen van de veelterm heen vermenigvuldigen. Een iets uitgebreider voorbeeld volgt:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Als er in een veelterm een minteken voorkomt, dan komt dat gewoon terug in het vermenigvuldigen.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Veeltermen herleiden

Bij het herleiden van veeltermen willen we meestal de veelterm zo omvormen dat hij eenvoudiger wordt. Daarvoor gebruiken we dingen als uitbreiden, vereenvoudigen, buiten haakjes brengen, formules toepassen en dergelijke. Het is handig deze formules te kennen. Een lijst met nuttige formules vind je elders. Wij gebruiken hier een aantal ervan, die ik gaandeweg noem. Een klassieke formule die veel gebruikt wordt is de formule

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Als je je afvraagt hoe deze formule ontstaat, hoef je alleen maar de haakjes uit te werken.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

We beginnen met een eenvoudig voorbeeld.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

De haakjes van beide kwadraten links hebben we uitgewerkt met de formule die ik hierboven heb gegeven. Bedenk dat we het tweede kwadraat hebben uitgewerkt als

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Een andere klassieke formule is

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Nu volgt een tweede voorbeeld, dit keer met een breuk. In de teller en in de noemer staan veeltermen en we proberen ze zo te herleiden dat de hele breuk mooi te vereenvoudigen is. In de eerste stap passen we in de teller de eerste formule toe, maar dan omgekeerd. In de noemer passen we de tweede formule toe. Aan het eind delen we alleen nog (a + b) weg.

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

In het derde voorbeeld proberen we buiten haakjes brengen toe te passen. In de teller brengen we eerst 3a³ buiten haakjes en daarna ontbinden we (4a² − 1) in factoren met de formule a² − b², waarbij we gebruiken dat

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

In de noemer vermenigvuldigen we eerst eenvoudig de eerste twee termen, brengen we ook 3a³ buiten haakjes en ten slotte vereenvoudigen we alles.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Hoofdstukken: Veeltermen, Veeltermen delen door een veelterm, Nulpunt van een veelterm (polynoom), Veeltermen ontbinden in factoren

« Vorige: Waarom je niet door nul kunt delen

Volgende: Veeltermen delen door een veelterm »