Polynom

Ett polynom är ett uttryck som innehåller variabeln x och de vanliga räkneoperationerna addition, multiplikation och upphöjning till en exponent som är ett icke-negativt heltal. Polynom kan vi också addera, subtrahera, multiplicera, dividera och upphöja.

Grundläggande samband

Ett exempel på ett enkelt polynom är polynomet

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Allmänt kan vi skriva ett polynom så här

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

där de reella talen framför x, alltså a_n, kallas koefficienter och n kallas polynomets grad. Talet n motsvarar den högsta potensen i polynomet, där a_n ≠ 0. Om a_n vore lika med noll skulle vi i praktiken ta bort variabeln x som koefficienten hör till, eftersom noll gånger vad som helst är noll:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

För det först nämnda polynomet gäller alltså att polynomets grad är två, eftersom den högsta potensen av variabeln x som inte är noll är två. För ett annat polynom

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

gäller att graden är 4 (den högsta exponenten är 4). Vanligtvis skriver vi polynom i fallande ordning efter exponenterna, så att termen med den högsta potensen kommer först. Det föregående polynomet kan vi alltså skriva om så här:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Vi ser att det i polynomet saknas termer där variabeln har exponenten tre och noll. Det gör ingenting, vi tänker oss helt enkelt att koefficienten framför de termerna är noll. Vi kan nämligen skriva

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Nu har vi visserligen med alla termer, men polynomet blir onödigt rörigt. Termer som är noll brukar man därför utelämna.

Addition och subtraktion av polynom

Addition och subtraktion av polynom är ganska enkelt. Vi adderar eller subtraherar alltid bara koefficienterna framför termer med samma exponent. Alltså gäller

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Ett enkelt exempel:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Om vi vill addera längre polynom måste vi alltid välja ut termer med samma exponent på variabeln.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Om en term med en viss exponent inte förekommer i ett polynom förblir den oförändrad (tänk dig att det finns en sådan term i det andra polynomet, men med koefficienten noll).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Subtraktion av polynom fungerar som addition, vi multiplicerar bara det andra polynomet med minus ett, det vill säga byter tecken på alla termer. Här följer ett exempel:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Och det är redan vanlig addition av polynom, så det går att addera som vanligt:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Kom ihåg att om polynomet innehåller en negativ term blir den positiv efter den här omformningen.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Multiplikation av polynom

När vi multiplicerar polynom multiplicerar vi varje term i det första polynomet med varje term i det andra polynomet. Koefficienterna multiplicerar vi som vanligt, som vanliga reella tal. Exponenterna på variablerna däremot adderar vi bara, enligt räknereglerna för potenser. Här är ett exempel:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Det här exemplet hade ett polynom med en enda term, så det visade inte tydligt multiplikationen mellan alla termer i polynomet. Ett något större exempel följer:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Om det förekommer ett minustecken i polynomet slår det igenom som vanligt i multiplikationen.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Förenkling av polynom

När vi förenklar polynom vill vi vanligtvis ändra polynomet så att det blir enklare. Då använder vi saker som förlängning, förkortning, utbrytning, användning av formler och liknande. Det är bra att kunna de här formlerna. Vi kommer att använda några av dem, som jag nämner efter hand. En klassisk formel som ofta används är den första kvadreringsregeln

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Om du undrar var den här formeln kommer ifrån räcker det att multiplicera ut parentesen.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Vi börjar med ett enkelt exempel.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Båda parenteserna till vänster multiplicerade vi ut med formeln som jag angav ovan. Kom ihåg att vi skrev ut den andra parentesen som

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

En annan klassisk formel är konjugatregeln

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Nu följer ett andra exempel, den här gången med ett bråk. Både i täljaren och i nämnaren finns polynom, och vi ska försöka förenkla dem så att hela bråket går att förkorta snyggt. I det första steget använder vi i täljaren den första formeln, men baklänges. I nämnaren använder vi den andra formeln. Till sist förkortar vi bara med (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

I det tredje exemplet ska vi pröva att använda utbrytning. I täljaren bryter vi först ut 3a³ och sedan faktoriserar vi parentesen (4a² − 1) med formeln a² − b², där vi utnyttjar att

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

I nämnaren multiplicerar vi först enkelt ihop de två första termerna, bryter också ut 3a³ och förkortar till sist allt.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Kapitel: Polynom, Polynomdivision, Nollställen till polynom, Faktorisering av polynom

« Föregående: Varför man inte kan dividera med noll

Nästa: Polynomdivision »