Сбор на ъглите на многоъгълник

Ако съберем вътрешните ъгли на който и да е триъгълник, винаги получаваме 180°. Няма значение дали е остроъгълен, тъпоъгълен, или дребен като марка за писмо. А как е при четириъгълник, петоъгълник или шестоъгълник? Колко са ъглите им общо?

Разделяме го на триъгълници

Вземаме петоъгълника ABCDE и от върха A прекарваме диагонали към всички върхове, с които още не е свързан чрез страна. Това са диагоналите AC и AD. С тях петоъгълникът се разпада на три триъгълника:

Погледни цветните ъгли. Всеки ъгъл на триъгълник лежи в някой връх на петоъгълника и заедно запълват всички вътрешни ъгли на петоъгълника – нищо не остава и нищо не липсва. При върха A се събират ъглите на трите триъгълника, при C и D – само на два. Затова петоъгълникът има същия сбор на ъглите като трите триъгълника заедно, 3 · 180°.

Съвсем същото се получава при всеки изпъкнал многоъгълник. От един връх излизат диагонали към всички останали върхове освен двата съседни и така n-ъгълникът се разпада на n − 2 триъгълника. Сборът на вътрешните ъгли на n-ъгълник е

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Формулата е в сила и за неизпъкнали многоъгълници, т.е. такива, които имат някой вътрешен ъгъл, по-голям от 180°. И те могат да се разделят на триъгълници, само че диагоналите не е задължително всички да излизат от един връх.

Четириъгълникът има четири върха, заместваме n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Това излиза и при квадрата: четирите му прави ъгъла правят общо точно 4 · 90° = 360°.

При петоъгълника е n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

А шестоъгълникът, т.е. n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

С всеки следващ връх се добавя по един триъгълник и сборът на ъглите нараства със 180°.

Защо не n триъгълника?

Многоъгълникът може да се разреже и по друг начин. Избираме си точка S вътре в него и я свързваме с всички върхове. Така петоъгълникът се разпада на пет триъгълника. Примамливият извод е, че сборът на ъглите е 5 · 180°. Само че това е грешка.

Ъглите на триъгълниците при точката S не принадлежат към вътрешните ъгли на петоъгълника. Заедно те образуват пълен ъгъл от 360° и трябва да го извадим:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Получи се същото като преди. И същия резултат получаваме при всеки изпъкнал n-ъгълник, защото 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Правилен многоъгълник

При правилния многоъгълник всички страни са еднакво дълги и всички ъгли са еднакво големи. Един ъгъл получаваме, като сборът на всички ъгли разделим на техния брой n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Ъглите на правилния петоъгълник са по 540°:5 = 108°, а при правилния шестоъгълник са 720°:6 = 120°.

Правилни шестоъгълници строят пчелите. Пчелната пита е изградена от тях без нито една междина, защото във всеки връх се събират три шестоъгълника и ъглите им правят общо

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

т.е. точно пълен ъгъл.

С правилни петоъгълници това нямаше да стане: три ъгъла по 108° правят 324°, така че би останала междина, а четири правят 432°, което вече е твърде много. Как да пресметнеш лицето на правилен многоъгълник, ще намериш в статията лице на правилен n-ъгълник.

Външните ъгли правят общо 360°

Външен ъгъл се получава, когато продължим страна на многоъгълника отвъд върха. Това е ъгълът между продължението и следващата страна. Представи си, че обикаляш петоъгълник по периметъра му. Във всеки връх завиваш точно на външния ъгъл. Когато се върнеш в началото, гледаш в същата посока като в началото, така че общо си се завъртял точно веднъж, на 360°.

Циферблатът вдясно показва на колко общо се е завъртяла стрелката досега.

Същото излиза и при пресмятане. Вътрешният и външният ъгъл при един връх са съседни, т.е. заедно правят 180°. При n върха това прави общо n · 180°. От тях (n − 2) · 180° се падат на вътрешните ъгли, а на външните остава

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Броят на върховете няма значение. Сборът на външните ъгли на изпъкнал многоъгълник е винаги 360°, независимо дали е триъгълник, или стоъгълник.

Вж. още

• Триъгълник
• Лице на правилен n-ъгълник
• Ъгъл
• Еднаквост на триъгълници