Goniometrische ongelijkheden

Een goniometrische ongelijkheid lijkt op een goniometrische vergelijking, alleen staat er in plaats van het gelijkteken <, >, ≤ of ≥. Neem bijvoorbeeld deze:

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

We zoeken alle x waarvoor de sinus groter is dan een half. Een deel van het werk hebben we al gedaan. De vergelijking $\sin x=\frac{1}{2}$ hebben we opgelost in het artikel over goniometrische vergelijkingen en op één omwenteling kwamen er twee oplossingen uit: $\frac{\pi }{6}$ en $\frac{5\pi }{6}$. Die twee getallen fungeren als grenzen. Ergens ertussen is de sinus groter dan een half, elders kleiner. We moeten nog uitzoeken waar.

Op de eenheidscirkel

Het gemakkelijkst zien we het op de eenheidscirkel. De sinus van een hoek is de y-coördinaat van een punt op de cirkel, dus de ongelijkheid $\sin x>\frac{1}{2}$ vraagt eigenlijk: welke punten van de cirkel liggen boven de lijn $y=\frac{1}{2}$?

De blauwe lijn snijdt de cirkel in twee punten, die overeenkomen met de hoeken $\frac{\pi }{6}$ en $\frac{5\pi }{6}$. Boven de lijn ligt alleen de rode boog daartussen. Zolang het been van de hoek tegen de klok in draait van $\frac{\pi }{6}$ naar $\frac{5\pi }{6}$, is de sinus groter dan een half. Zodra het been de boog verlaat, zakt de sinus eronder.

De eindpunten horen niet bij de oplossing, daarom staan er op de figuur open bolletjes. Daar is de sinus precies gelijk aan $\frac{1}{2}$, en wij willen strikt groter. Op één omwenteling krijgen we dus het open interval

$$⟨\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}⟩.$$

Maar de sinus is een periodieke functie met periode 2π: na elke hele omwenteling herhaalt alles zich. Daarom tellen we bij beide uiteinden 2kπ op en krijgen we de oplossing

$$x\in ⟨\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ⟩,$$

waarbij k ∈ ℤ. Voor k = 0 is het de boog van de figuur, voor k = 1 dezelfde boog een omwenteling opgeschoven, dus het interval $⟨\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}⟩$. De oplossing bestaat uit oneindig veel intervallen die steeds 2π van elkaar liggen.

Voor de zekerheid controleren we het. We proberen $x=\frac{\pi }{2}$, dat in het interval ligt. Er geldt $\sin \frac{\pi }{2}=1$ en één is inderdaad groter dan een half. Omgekeerd ligt x = π niet in het interval en sin π = 0, en dat is niet groter dan een half. Het resultaat klopt dus.

Een interval over nul heen

We gaan naar de cosinus:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

De cosinus is de x-coördinaat van een punt op de cirkel, dus we zoeken de punten rechts van de verticale lijn die de horizontale as in het punt $\frac{1}{2}$ snijdt. De vergelijking $\cos x=\frac{1}{2}$ heeft op de eerste omwenteling eveneens twee oplossingen, $\frac{\pi }{3}$ en $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ is 60° uit de exacte waarden, $\frac{5\pi }{3}$ is het gespiegelde punt onder de x-as). De boog rechts van de lijn begint onderaan in het punt $\frac{5\pi }{3}$, loopt over nul en eindigt bovenaan in het punt $\frac{\pi }{3}$.

En hier is de verleiding groot om op te schrijven

$$⟨\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}⟩.$$

Pas op. Het linkeruiteinde van een interval moet kleiner zijn dan het rechter, maar $\frac{5\pi }{3}$ is groter dan $\frac{\pi }{3}$. Zo'n interval is leeg, er bestaat geen getal dat tegelijk groter is dan $\frac{5\pi }{3}$ en kleiner dan $\frac{\pi }{3}$.

De oplossing is eenvoudig. In plaats van $\frac{5\pi }{3}$ nemen we hetzelfde punt van de cirkel een omwenteling terug:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

De hoek $-\frac{\pi }{3}$ wijst op de cirkel naar dezelfde plaats als $\frac{5\pi }{3}$, alleen komen we er door met de klok mee te draaien. Het linkeruiteinde is nu kleiner dan het rechter en de oplossing luidt

$$x\in ⟨-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟩,$$

waarbij k ∈ ℤ. Goed te zien is het ook op de grafiek van de cosinus:

Het rode stuk rond nul komt precies overeen met het interval voor k = 0. Het stuk rechts, dat begint in $\frac{5\pi }{3}$, is zijn kopie voor k = 1, dus $⟨\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}⟩$. Ook dat is een juiste notatie, alleen met een andere k. Fout is pas die waarin de uiteinden zijn verwisseld.

Tangens

Het laatste voorbeeld:

$$\tan x\ge 1$$

De tangens is gelijk aan één voor $x=\frac{\pi }{4}$. Op elke tak stijgt de grafiek van de tangens voortdurend, dus voor een iets grotere x is de tangens groter dan één. Hij stijgt echter maar tot $\frac{\pi }{2}$, waar hij naar oneindig ontsnapt, en daarna begint hij opnieuw vanaf min oneindig. Op één tak van de grafiek voldoet dus alles van $\frac{\pi }{4}$ tot $\frac{\pi }{2}$ aan de ongelijkheid.

Hier worden meestal twee fouten gemaakt. De eerste zit in de periode. De tangens herhaalt zich niet na 2π zoals de sinus, maar al na π. Wie uit gewoonte 2kπ optelt, mist de helft van de oplossingen, bijvoorbeeld $x=\frac{5\pi }{4}$, waar de tangens ook gelijk is aan één.

De tweede ligt op de loer bij het rechteruiteinde. Het linkeruiteinde $\frac{\pi }{4}$ hoort wel bij de oplossing, omdat de ongelijkheid niet strikt is en $\tan \frac{\pi }{4}=1$ eraan voldoet. Het rechteruiteinde $\frac{\pi }{2}$ hoort er echter nooit bij, ook niet bij een niet-strikte ongelijkheid. De tangens is daar namelijk niet gedefinieerd, dus hij kan niet groter dan of gelijk aan één zijn. Het zou een fout zijn om het gesloten interval $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ op te schrijven alleen omdat er in de opgave ≥ staat.

Goed komt er dus uit

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ⟩,$$

waarbij k ∈ ℤ. Ter controle vullen we $x=\frac{\pi }{3}$ in, dat in het interval voor k = 0 ligt. Er geldt $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, en dat is meer dan één.