Trigonometrik Eşitsizlikler

Trigonometrik eşitsizlik, trigonometrik denkleme benzer; yalnızca eşittir işareti yerine <, >, ≤ ya da ≥ bulunur. Örneğin şunu alalım:

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

Sinüsün yarımdan büyük olduğu bütün x değerlerini arıyoruz. İşin bir kısmını zaten bitirdik. $\sin x=\frac{1}{2}$ denklemini trigonometrik denklemler yazısında çözmüştük ve bir turda iki çözüm çıkmıştı: $\frac{\pi }{6}$ ve $\frac{5\pi }{6}$. Bu iki sayı sınır görevi görür. Aralarında bir yerde sinüs yarımdan büyüktür, başka yerlerde küçüktür. Geriye bunun nerede olduğunu bulmak kalıyor.

Birim Çemberde

Bunu en kolay birim çemberde görürüz. Bir açının sinüsü, çember üzerindeki noktanın y koordinatıdır; yani $\sin x>\frac{1}{2}$ eşitsizliği aslında şunu sorar: çemberin hangi noktaları $y=\frac{1}{2}$ doğrusunun üstündedir?

Mavi doğru çemberi, $\frac{\pi }{6}$ ve $\frac{5\pi }{6}$ açılarına karşılık gelen iki noktada keser. Doğrunun üstünde yalnızca bu noktalar arasındaki kırmızı yay kalır. Açının kenarı saat yönünün tersine $\frac{\pi }{6}$ açısından $\frac{5\pi }{6}$ açısına doğru döndüğü sürece sinüs yarımdan büyüktür. Yaydan çıkar çıkmaz yarımın altına düşer.

Uç noktalar çözüme girmez, bu yüzden şekilde içi boş halkalarla gösterilmiştir. Orada sinüs tam olarak $\frac{1}{2}$’ye eşittir, bizse kesin olarak daha büyük olmasını istiyoruz. Böylece bir turda açık bir aralık elde ederiz:

$$(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}).$$

Ancak sinüs, periyodu 2π olan periyodik bir fonksiyondur: her tam turdan sonra her şey tekrarlanır. Bu yüzden iki uca da 2kπ ekleriz ve sonuç şöyle olur:

$$x\in (\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ),$$

burada k ∈ ℤ’dir. k = 0 için bu, şekildeki yaydır; k = 1 için aynı yayın bir tur kaydırılmış hâli, yani $(\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6})$ aralığıdır. Çözüm, birbirinden hep 2π uzaklıkta duran sonsuz sayıda aralıktır.

Emin olmak için bir de doğrulayalım. Aralığın içinde bulunan $x=\frac{\pi }{2}$ değerini deneyelim. $\sin \frac{\pi }{2}=1$ olur ve bu gerçekten yarımdan büyüktür. Buna karşılık x = π aralıkta değildir ve sin π = 0, bu da yarımdan büyük değildir. Sonuç doğru çıkıyor.

Sıfırdan Geçen Aralık

Şimdi kosinüse geçelim:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

Kosinüs, çember üzerindeki noktanın x koordinatıdır; bu yüzden yatay ekseni $\frac{1}{2}$ noktasında kesen düşey doğrunun sağında kalan noktaları arıyoruz. $\cos x=\frac{1}{2}$ denkleminin ilk turda yine iki çözümü vardır: $\frac{\pi }{3}$ ve $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$, özel açıların trigonometrik değerleri tablosundan bildiğimiz 60° açıdır; $\frac{5\pi }{3}$ ise x ekseninin altındaki simetrik noktadır). Doğrunun sağındaki yay aşağıda $\frac{5\pi }{3}$ noktasında başlar, sıfırdan geçer ve yukarıda $\frac{\pi }{3}$ noktasında biter.

İşte burada şunu yazmak çok cazip gelir:

$$(\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}).$$

Tuzak. Bir aralığın sol ucu sağ ucundan küçük olmalıdır, oysa $\frac{5\pi }{3}$, $\frac{\pi }{3}$’ten büyüktür. Böyle bir aralık boştur; hem $\frac{5\pi }{3}$’ten büyük hem de $\frac{\pi }{3}$’ten küçük olan hiçbir sayı yoktur.

Düzeltmesi basit. $\frac{5\pi }{3}$ yerine çemberin aynı noktasını bir tur geriden alırız:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

$-\frac{\pi }{3}$ açısı çemberde $\frac{5\pi }{3}$ açısıyla aynı yeri gösterir; yalnızca ona saat yönünde dönerek ulaşırız. Artık sol uç sağ uçtan küçüktür ve sonuç şöyledir:

$$x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi ),$$

burada k ∈ ℤ’dir. Bunu kosinüs grafiğinde de iyi görebiliriz:

Sıfırın çevresindeki kırmızı kısım, tam olarak k = 0 için bulduğumuz aralığa karşılık gelir. Sağdaki, $\frac{5\pi }{3}$ noktasında başlayan kısım ise onun k = 1 için kopyasıdır, yani $(\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3})$ aralığıdır. Bu da doğru bir yazımdır, yalnızca k farklıdır. Yanlış olan, uçların yer değiştirdiği yazımdır.

Tanjant

Son örnek:

$$\tan x\ge 1$$

Tanjant, $x=\frac{\pi }{4}$ için bire eşittir. Tanjant grafiği her bir dalında hep artar; bu yüzden biraz daha büyük x değerlerinde tanjant birden büyüktür. Ama yalnızca $\frac{\pi }{2}$ noktasına kadar artar; orada sonsuza kaçar ve ondan sonra eksi sonsuzdan yeniden başlar. Grafiğin tek bir dalında eşitsizliği, $\frac{\pi }{4}$ ile $\frac{\pi }{2}$ arasındaki her değer sağlar.

Burada genellikle iki kez hata yapılır. Birinci hata periyottadır. Tanjant, sinüs gibi her 2π’de bir değil, her π’de bir tekrarlanır. Alışkanlıktan 2kπ ekleyen kişi çözümlerin yarısını kaçırır; örneğin tanjantın yine bire eşit olduğu $x=\frac{5\pi }{4}$ değerini.

İkincisi sağ uçta pusuda bekler. Sol uç $\frac{\pi }{4}$ çözüme girer, çünkü eşitsizlik kesin değildir ve $\tan \frac{\pi }{4}=1$ onu sağlar. Ama sağ uç $\frac{\pi }{2}$, eşitsizlik kesin olmasa bile asla çözüme girmez. Tanjant orada tanımlı değildir, bu yüzden birden büyük de olamaz, bire eşit de. Yalnızca soruda ≥ bulunuyor diye $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ kapalı aralığını yazmak hata olurdu.

Doğru sonuç şöyle çıkar:

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ),$$

burada k ∈ ℤ’dir. Kontrol için, k = 0 olduğunda aralığın içinde kalan $x=\frac{\pi }{3}$ değerini yerine yazalım. $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$ ve bu, birden büyüktür.