Disequazioni goniometriche

Una disequazione goniometrica assomiglia a un’equazione goniometrica, solo che al posto del segno di uguale ha <, >, ≤ o ≥. Prendiamo per esempio questa:

$$\mathrm{sen}x>\frac{1}{2}$$

Cerchiamo tutti gli x per cui il seno è maggiore di un mezzo. Una parte del lavoro è già fatta. L’equazione $\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}$ l’abbiamo risolta nell’articolo sulle equazioni goniometriche e in un giro abbiamo trovato due soluzioni: $\frac{\pi }{6}$ e $\frac{5\pi }{6}$. Questi due numeri fanno da estremi. Da qualche parte tra di essi il seno è maggiore di un mezzo, altrove è minore. Resta da capire dove.

Sulla circonferenza goniometrica

Lo vediamo più facilmente sulla circonferenza goniometrica. Il seno di un angolo è l’ordinata del punto sulla circonferenza, quindi la disequazione $\mathrm{sen}x>\frac{1}{2}$ chiede in realtà: quali punti della circonferenza stanno sopra la retta $y=\frac{1}{2}$?

La retta blu interseca la circonferenza in due punti, che corrispondono agli angoli $\frac{\pi }{6}$ e $\frac{5\pi }{6}$. Sopra la retta sta solo l’arco rosso compreso tra di essi. Finché il lato dell’angolo ruota in senso antiorario da $\frac{\pi }{6}$ a $\frac{5\pi }{6}$, il seno è maggiore di un mezzo. Appena esce dall’arco, scende sotto.

Gli estremi non fanno parte della soluzione, perciò nella figura ci sono dei cerchietti vuoti. In quei punti il seno è uguale esattamente a $\frac{1}{2}$, mentre noi lo vogliamo strettamente maggiore. In un giro otteniamo quindi l’intervallo aperto

$$(\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}).$$

Ma il seno è una funzione periodica di periodo 2π: dopo ogni giro completo tutto si ripete. Per questo a entrambi gli estremi aggiungiamo 2kπ e otteniamo il risultato

$$x\in (\frac{\pi }{6}+2k\pi ;\frac{5\pi }{6}+2k\pi ),$$

dove k ∈ ℤ. Per k = 0 è l’arco della figura, per k = 1 è lo stesso arco spostato di un giro, cioè l’intervallo $(\frac{13\pi }{6};\frac{17\pi }{6})$. La soluzione è formata da infiniti intervalli, distanti sempre 2π l’uno dall’altro.

Per sicurezza facciamo una verifica. Proviamo $x=\frac{\pi }{2}$, che sta nell’intervallo. Vale $\mathrm{sen}\frac{\pi }{2}=1$ e uno è davvero maggiore di un mezzo. Invece x = π nell’intervallo non sta e sen π = 0, che non è maggiore di un mezzo. Il risultato quindi torna.

Intervallo a cavallo dello zero

Passiamo al coseno:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

Il coseno è l’ascissa del punto sulla circonferenza, quindi cerchiamo i punti a destra della retta verticale che interseca l’asse orizzontale nel punto $\frac{1}{2}$. Anche l’equazione $\cos x=\frac{1}{2}$ ha nel primo giro due soluzioni, $\frac{\pi }{3}$ e $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ è 60° dai valori notevoli, $\frac{5\pi }{3}$ è il punto simmetrico sotto l’asse x). L’arco a destra della retta comincia nel punto $\frac{5\pi }{3}$ in basso, passa per lo zero e finisce in alto nel punto $\frac{\pi }{3}$.

E qui è forte la tentazione di scrivere

$$(\frac{5\pi }{3};\frac{\pi }{3}).$$

Attenzione, trabocchetto! L’estremo sinistro dell’intervallo deve essere minore di quello destro, ma $\frac{5\pi }{3}$ è maggiore di $\frac{\pi }{3}$. Un intervallo così è vuoto: non esiste alcun numero che sia allo stesso tempo maggiore di $\frac{5\pi }{3}$ e minore di $\frac{\pi }{3}$.

La correzione è semplice. Al posto di $\frac{5\pi }{3}$ prendiamo lo stesso punto della circonferenza un giro indietro:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

L’angolo $-\frac{\pi }{3}$ indica sulla circonferenza lo stesso punto di $\frac{5\pi }{3}$, solo che ci arriviamo ruotando in senso orario. Ora l’estremo sinistro è minore di quello destro e il risultato è

$$x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ;\frac{\pi }{3}+2k\pi ),$$

dove k ∈ ℤ. Si vede bene anche sul grafico del coseno:

Il tratto rosso attorno allo zero corrisponde esattamente all’intervallo per k = 0. Il tratto a destra, che comincia in $\frac{5\pi }{3}$, ne è la copia per k = 1, cioè $(\frac{5\pi }{3};\frac{7\pi }{3})$. Anche questa è una scrittura corretta, solo con un altro k. Sbagliata è soltanto quella in cui gli estremi sono scambiati.

Tangente

Ultimo esempio:

$$\tan x\ge 1$$

La tangente è uguale a uno per $x=\frac{\pi }{4}$. Su ogni suo ramo il grafico della tangente è sempre crescente, quindi per un x un po’ più grande la tangente è maggiore di uno. Cresce però solo fino a $\frac{\pi }{2}$, dove va all’infinito, e dopo ricomincia da meno infinito. Su un ramo del grafico la disequazione è quindi soddisfatta da tutto ciò che sta tra $\frac{\pi }{4}$ e $\frac{\pi }{2}$.

Qui si sbaglia di solito in due modi. Il primo errore riguarda il periodo. La tangente non si ripete ogni 2π come il seno, ma già ogni π. Chi per abitudine aggiunge 2kπ perde metà delle soluzioni, per esempio $x=\frac{5\pi }{4}$, dove la tangente vale di nuovo uno.

Il secondo è in agguato all’estremo destro. L’estremo sinistro $\frac{\pi }{4}$ fa parte della soluzione, perché la disequazione non è stretta e $\tan \frac{\pi }{4}=1$ la soddisfa. L’estremo destro $\frac{\pi }{2}$ invece non ne fa parte mai, nemmeno in una disequazione non stretta. La tangente lì infatti non è definita, quindi non può essere né maggiore né uguale a uno. Sarebbe un errore scrivere l’intervallo chiuso $[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]$ solo perché nel testo c’è ≥.

Il risultato corretto è dunque

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi ),$$

dove k ∈ ℤ. Per controllo sostituiamo $x=\frac{\pi }{3}$, che sta nell’intervallo per k = 0. Vale $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, che è più di uno.