Trigonometriset epäyhtälöt

Trigonometrinen epäyhtälö näyttää trigonometriselta yhtälöltä, mutta yhtäsuuruusmerkin tilalla on <, >, ≤ tai ≥. Otetaan vaikka tämä:

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

Etsitään kaikki x, joilla sini on suurempi kuin puolikas. Osa työstä on jo tehty. Yhtälö $\sin x=\frac{1}{2}$ ratkaistiin trigonometrisia yhtälöitä käsittelevässä artikkelissa, ja yhdellä kierroksella saatiin kaksi ratkaisua: $\frac{\pi }{6}$ ja $\frac{5\pi }{6}$. Nuo kaksi lukua toimivat rajoina. Jossain niiden välillä sini on suurempi kuin puolikas, muualla pienempi. Jää selvittää, missä.

Yksikköympyrällä

Helpoimmin tämä nähdään yksikköympyrästä. Kulman sini on ympyrän pisteen y-koordinaatti, joten epäyhtälö $\sin x>\frac{1}{2}$ kysyy oikeastaan: mitkä ympyrän kehän pisteet ovat suoran $y=\frac{1}{2}$ yläpuolella?

Sininen suora leikkaa ympyrän kehän kahdessa pisteessä, jotka vastaavat kulmia $\frac{\pi }{6}$ ja $\frac{5\pi }{6}$. Suoran yläpuolella on vain niiden välinen punainen kaari. Niin kauan kuin kulman kylki kiertyy vastapäivään kohdasta $\frac{\pi }{6}$ kohtaan $\frac{5\pi }{6}$, sini on suurempi kuin puolikas. Heti kun kylki jättää kaaren, sini putoaa sen alle.

Päätepisteet eivät kuulu ratkaisuun, siksi kuvassa ne on merkitty avoimilla palloilla. Niissä sini on tasan $\frac{1}{2}$, ja halutaan aidosti suurempi. Yhdellä kierroksella saadaan siis avoin väli

$$]\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}[.$$

Sini on kuitenkin jaksollinen funktio, jonka jakso on 2π: jokaisen täyden kierroksen jälkeen kaikki toistuu. Siksi molempiin päätepisteisiin lisätään 2kπ, ja tulokseksi saadaan

$$x\in ]\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi [,$$

missä k ∈ ℤ. Kun k = 0, tämä on kuvan kaari, ja kun k = 1, sama kaari siirrettynä kierroksen verran eteenpäin, eli väli $]\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}[$. Ratkaisuna on äärettömän monta väliä, joiden etäisyys toisistaan on aina 2π.

Varmuuden vuoksi tarkistetaan tämä. Kokeillaan $x=\frac{\pi }{2}$, joka on välillä. Pätee $\sin \frac{\pi }{2}=1$, ja yksi on todella suurempi kuin puolikas. Toisaalta x = π ei ole välillä, ja sin π = 0, mikä ei ole suurempi kuin puolikas. Tulos siis täsmää.

Väli nollan kautta

Siirrytään kosiniin:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

Kosini on ympyrän pisteen x-koordinaatti, joten etsitään pisteitä, jotka ovat sen pystysuoran suoran oikealla puolella, joka leikkaa vaaka-akselin pisteessä $\frac{1}{2}$. Yhtälöllä $\cos x=\frac{1}{2}$ on ensimmäisellä kierroksella myös kaksi ratkaisua, $\frac{\pi }{3}$ ja $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ on 60° taulukkoarvoista, $\frac{5\pi }{3}$ on sen peilipiste x-akselin alapuolella). Suoran oikealla puolella oleva kaari alkaa alhaalta pisteestä $\frac{5\pi }{3}$, kulkee nollan kautta ja päättyy ylhäällä pisteeseen $\frac{\pi }{3}$.

Ja tässä on suuri houkutus kirjoittaa

$$]\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}[.$$

Ansa. Välin vasemman päätepisteen täytyy olla pienempi kuin oikean, mutta $\frac{5\pi }{3}$ on suurempi kuin $\frac{\pi }{3}$. Tällainen väli on tyhjä: ei ole lukua, joka olisi samaan aikaan suurempi kuin $\frac{5\pi }{3}$ ja pienempi kuin $\frac{\pi }{3}$.

Korjaus on yksinkertainen. Otetaan $\frac{5\pi }{3}$:n sijaan sama ympyrän piste yksi kierros taaksepäin:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

Kulma $-\frac{\pi }{3}$ osoittaa ympyrällä samaan kohtaan kuin $\frac{5\pi }{3}$, siihen vain päästään kiertämällä myötäpäivään. Vasen päätepiste on nyt pienempi kuin oikea, ja tulos on

$$x\in ]-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi [,$$

missä k ∈ ℤ. Tämä näkyy hyvin myös kosinin kuvaajasta:

Punainen väli nollan ympärillä vastaa täsmälleen väliä, kun k = 0. Oikealla oleva väli, joka alkaa pisteestä $\frac{5\pi }{3}$, on sen kopio arvolla k = 1, eli $]\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}[$. Sekin on oikea merkintä, vain eri k:lla. Väärä on vasta se, jossa päätepisteet on vaihdettu keskenään.

Tangentti

Viimeinen esimerkki:

$$\tan x\ge 1$$

Tangentti on yksi, kun $x=\frac{\pi }{4}$. Tangentin kuvaaja kasvaa jokaisella haarallaan koko ajan, joten hieman suuremmilla x:n arvoilla tangentti on suurempi kuin yksi. Se kasvaa kuitenkin vain kohtaan $\frac{\pi }{2}$ asti, jossa se karkaa äärettömyyteen, ja sen jälkeen alkaa taas miinus äärettömästä. Kuvaajan yhdellä haaralla epäyhtälön toteuttavat siis kaikki luvut kohdasta $\frac{\pi }{4}$ kohtaan $\frac{\pi }{2}$ asti.

Tässä tehdään yleensä kaksi virhettä. Ensimmäinen virhe on jaksossa. Tangentti ei toistu 2π:n välein kuten sini, vaan jo π:n välein. Se, joka tottumuksesta lisää 2kπ, menettää puolet ratkaisuista, esimerkiksi ratkaisun $x=\frac{5\pi }{4}$, jossa tangentti on myös yksi.

Toinen vaanii oikeassa päätepisteessä. Vasen päätepiste $\frac{\pi }{4}$ kuuluu ratkaisuun, koska epäyhtälö on epäaito ja $\tan \frac{\pi }{4}=1$ toteuttaa sen. Oikea päätepiste $\frac{\pi }{2}$ ei kuitenkaan kuulu ratkaisuun koskaan, ei edes epäaidossa epäyhtälössä. Tangenttia ei nimittäin ole määritelty siinä kohdassa, joten se ei voi olla suurempi eikä yhtä suuri kuin yksi. Virhe olisi kirjoittaa suljettu väli $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ pelkästään siksi, että tehtävänannossa on ≥.

Oikein saadaan siis

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi [,$$

missä k ∈ ℤ. Tarkistuksena sijoitetaan $x=\frac{\pi }{3}$, joka on välillä, kun k = 0. Pätee $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, mikä on enemmän kuin yksi.