Inecuaciones trigonométricas

Una inecuación trigonométrica se parece a una ecuación trigonométrica, pero en lugar del signo igual lleva <, >, ≤ o ≥. Tomemos, por ejemplo, esta:

$$\mathrm{sen}x>\frac{1}{2}$$

Buscamos todos los x para los que el seno es mayor que un medio. Parte del trabajo ya la tenemos hecha. La ecuación $\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}$ la resolvimos en el artículo sobre ecuaciones trigonométricas y en una vuelta nos salieron dos soluciones: $\frac{\pi }{6}$ y $\frac{5\pi }{6}$. Esos dos números hacen de frontera. En una parte el seno es mayor que un medio y en otra, menor. Falta averiguar dónde.

En la circunferencia goniométrica

Lo veremos más fácilmente en la circunferencia goniométrica. El seno de un ángulo es la coordenada y del punto de la circunferencia, de modo que la inecuación $\mathrm{sen}x>\frac{1}{2}$ pregunta, en realidad, qué puntos de la circunferencia están por encima de la recta $y=\frac{1}{2}$.

La recta azul corta la circunferencia en dos puntos, que corresponden a los ángulos $\frac{\pi }{6}$ y $\frac{5\pi }{6}$. Por encima de la recta solo queda el arco rojo que hay entre ellos. Mientras el lado del ángulo gira en sentido contrario a las agujas del reloj de $\frac{\pi }{6}$ a $\frac{5\pi }{6}$, el seno es mayor que un medio. En cuanto abandona el arco, cae por debajo.

Los extremos no forman parte de la solución, por eso en la figura son círculos vacíos. En ellos el seno vale exactamente $\frac{1}{2}$ y nosotros queremos que sea estrictamente mayor. En una vuelta nos sale así el intervalo abierto

$$(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}).$$

Pero el seno es una función periódica de periodo 2π: tras cada vuelta completa todo se repite. Por eso sumamos 2kπ a los dos extremos y obtenemos el resultado

$$x\in (\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ),$$

donde k ∈ ℤ. Para k = 0 es el arco de la figura; para k = 1, el mismo arco desplazado una vuelta, es decir, el intervalo $(\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6})$. La solución son infinitos intervalos separados siempre por una distancia de 2π.

Por si acaso, comprobémoslo. Probemos con $x=\frac{\pi }{2}$, que está en el intervalo. Se cumple $\mathrm{sen}\frac{\pi }{2}=1$ y uno es, en efecto, mayor que un medio. En cambio, x = π no está en el intervalo y sen π = 0, que no es mayor que un medio. El resultado cuadra.

Intervalo que pasa por el cero

Pasemos al coseno:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

El coseno es la coordenada x del punto de la circunferencia, así que buscamos los puntos situados a la derecha de la recta vertical que corta el eje horizontal en el punto $\frac{1}{2}$. La ecuación $\cos x=\frac{1}{2}$ también tiene dos soluciones en la primera vuelta, $\frac{\pi }{3}$ y $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ son 60° según los valores de los ángulos notables, y $\frac{5\pi }{3}$ es el punto simétrico por debajo del eje x). El arco situado a la derecha de la recta empieza abajo, en el punto $\frac{5\pi }{3}$, pasa por el cero y termina arriba, en el punto $\frac{\pi }{3}$.

Y aquí hay una gran tentación de escribir

$$(\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}).$$

Es una trampa. El extremo izquierdo de un intervalo tiene que ser menor que el derecho, pero $\frac{5\pi }{3}$ es mayor que $\frac{\pi }{3}$. Un intervalo así está vacío: no existe ningún número que sea a la vez mayor que $\frac{5\pi }{3}$ y menor que $\frac{\pi }{3}$.

El arreglo es sencillo. En lugar de $\frac{5\pi }{3}$ tomamos ese mismo punto de la circunferencia una vuelta hacia atrás:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

El ángulo $-\frac{\pi }{3}$ señala en la circunferencia el mismo lugar que $\frac{5\pi }{3}$; solo que llegamos a él girando en el sentido de las agujas del reloj. Ahora el extremo izquierdo es menor que el derecho y el resultado es

$$x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi ),$$

donde k ∈ ℤ. También se ve bien en la gráfica del coseno:

El tramo rojo que rodea al cero corresponde exactamente al intervalo para k = 0. El tramo de la derecha, que empieza en $\frac{5\pi }{3}$, es su copia para k = 1, es decir, $(\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3})$. También esa es una escritura correcta, solo que con otro k. Lo incorrecto es la escritura en la que se intercambian los extremos.

Tangente

Un último ejemplo:

$$\tan x\ge 1$$

La tangente vale uno para $x=\frac{\pi }{4}$. En cada una de sus ramas la gráfica de la tangente es siempre creciente, así que para un x algo mayor la tangente es mayor que uno. Pero crece solo hasta $\frac{\pi }{2}$, donde se dispara hacia el infinito, y después de ese punto vuelve a empezar desde menos infinito. En una rama de la gráfica, por tanto, la inecuación la cumple todo lo que va desde $\frac{\pi }{4}$ hasta $\frac{\pi }{2}$.

Aquí se suele fallar dos veces. El primer error está en el periodo. La tangente no se repite cada 2π como el seno, sino ya cada π. Quien por costumbre suma 2kπ pierde la mitad de las soluciones, por ejemplo $x=\frac{5\pi }{4}$, donde la tangente también vale uno.

El segundo acecha en el extremo derecho. El extremo izquierdo $\frac{\pi }{4}$ sí pertenece a la solución, porque la inecuación no es estricta y $\tan \frac{\pi }{4}=1$ la cumple. Pero el extremo derecho $\frac{\pi }{2}$ nunca pertenece a ella, ni siquiera en una inecuación no estricta. La tangente no está definida en ese punto, así que no puede ser mayor ni igual que uno. Sería un error escribir el intervalo cerrado $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ solo porque en el enunciado aparece ≥.

La solución correcta es, pues,

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ),$$

donde k ∈ ℤ. Para comprobarlo sustituimos $x=\frac{\pi }{3}$, que está en el intervalo para k = 0. Se cumple $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, que es más que uno.