Inecuații trigonometrice

O inecuație trigonometrică arată ca o ecuație trigonometrică, doar că în loc de semnul egal are <, >, ≤ sau ≥. Să luăm, de exemplu, această inecuație:

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

Căutăm toate valorile x pentru care sinusul este mai mare decât o doime. O parte din lucru l-am făcut deja. Ecuația $\sin x=\frac{1}{2}$ am rezolvat-o în articolul despre ecuațiile trigonometrice și pe o rotație completă ne-au ieșit două soluții: $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{5\pi }{6}$. Aceste două numere au rol de limite. Undeva între ele sinusul este mai mare decât o doime, în rest este mai mic. Rămâne să aflăm unde.

Pe cercul trigonometric

Cel mai ușor vedem asta pe cercul trigonometric. Sinusul unui unghi este coordonata y a punctului de pe cerc, deci inecuația $\sin x>\frac{1}{2}$ întreabă de fapt: care puncte ale cercului se află deasupra dreptei $y=\frac{1}{2}$?

Dreapta albastră taie cercul în două puncte, care corespund unghiurilor $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{5\pi }{6}$. Deasupra dreptei se află doar arcul roșu dintre ele. Cât timp latura unghiului se rotește în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic) de la $\frac{\pi }{6}$ la $\frac{5\pi }{6}$, sinusul este mai mare decât o doime. Imediat ce părăsește arcul, sinusul scade sub această valoare.

Capetele arcului nu aparțin soluției, de aceea în figură sunt cerculețe goale. În ele sinusul este egal exact cu $\frac{1}{2}$, iar noi vrem strict mai mare. Pe o rotație obținem deci intervalul deschis

$$(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}).$$

Sinusul este însă o funcție periodică, cu perioada 2π: după fiecare rotație completă totul se repetă. De aceea adăugăm la ambele capete 2kπ și obținem rezultatul

$$x\in (\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ),$$

unde k ∈ ℤ. Pentru k = 0 este arcul din figură, pentru k = 1 același arc, deplasat cu o rotație, adică intervalul $(\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6})$. Soluția este formată din infinit de multe intervale, aflate mereu la distanța 2π unul de altul.

Pentru siguranță, verificăm. Încercăm $x=\frac{\pi }{2}$, care se află în interval. Avem $\sin \frac{\pi }{2}=1$, iar unu chiar este mai mare decât o doime. În schimb, x = π nu se află în interval și sin π = 0, ceea ce nu este mai mare decât o doime. Rezultatul se potrivește.

Interval prin zero

Să trecem la cosinus:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

Cosinusul este coordonata x a punctului de pe cerc, deci căutăm punctele din dreapta dreptei verticale care taie axa orizontală în punctul $\frac{1}{2}$. Ecuația $\cos x=\frac{1}{2}$ are pe prima rotație tot două soluții, $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ este 60° din valorile din tabel, iar $\frac{5\pi }{3}$ este punctul simetric de sub axa Ox). Arcul din dreapta dreptei începe în punctul $\frac{5\pi }{3}$ de jos, trece prin zero și se termină sus, în punctul $\frac{\pi }{3}$.

Și aici apare marea tentație de a scrie

$$(\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}).$$

Capcană. Capătul din stânga al intervalului trebuie să fie mai mic decât cel din dreapta, dar $\frac{5\pi }{3}$ este mai mare decât $\frac{\pi }{3}$. Un asemenea interval este vid: nu există niciun număr care să fie în același timp mai mare decât $\frac{5\pi }{3}$ și mai mic decât $\frac{\pi }{3}$.

Remedierea este simplă. În loc de $\frac{5\pi }{3}$ luăm același punct al cercului, cu o rotație înapoi:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

Unghiul $-\frac{\pi }{3}$ indică pe cerc același loc ca $\frac{5\pi }{3}$, doar că ajungem la el rotindu-ne în sensul acelor de ceasornic. Acum capătul din stânga este mai mic decât cel din dreapta, iar rezultatul este

$$x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi ),$$

unde k ∈ ℤ. Se vede bine și pe graficul cosinusului:

Porțiunea roșie din jurul lui zero corespunde exact intervalului pentru k = 0. Porțiunea din dreapta, care începe în $\frac{5\pi }{3}$, este copia ei pentru k = 1, adică $(\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3})$. Și aceasta este o scriere corectă, doar cu alt k. Greșită este abia cea în care capetele sunt inversate.

Tangenta

Ultimul exemplu:

$$\mathrm{tg}x\ge 1$$

Tangenta este egală cu unu pentru $x=\frac{\pi }{4}$. Pe fiecare dintre ramurile ei, graficul tangentei crește tot timpul, deci pentru un x ceva mai mare tangenta este mai mare decât unu. Crește însă doar până la $\frac{\pi }{2}$, unde fuge spre infinit, iar după aceea începe din nou de la minus infinit. Pe o ramură a graficului, inecuația este deci verificată de tot ce se află de la $\frac{\pi }{4}$ până la $\frac{\pi }{2}$.

Aici se greșește de obicei de două ori. Prima greșeală ține de perioadă. Tangenta nu se repetă la 2π ca sinusul, ci deja la π. Cine adaugă din obișnuință 2kπ pierde jumătate din soluții, de exemplu pe $x=\frac{5\pi }{4}$, unde tangenta este tot egală cu unu.

A doua greșeală pândește la capătul din dreapta. Capătul din stânga, $\frac{\pi }{4}$, aparține soluției, pentru că inecuația este nestrictă, iar $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$ o verifică. Capătul din dreapta, $\frac{\pi }{2}$, nu aparține niciodată, nici măcar la o inecuație nestrictă. Acolo tangenta nu este definită, deci nu poate fi nici mai mare, nici egală cu unu. Ar fi o greșeală să scriem intervalul închis $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ doar pentru că în enunț apare ≥.

Corect obținem deci

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ),$$

unde k ∈ ℤ. Pentru verificare, înlocuim $x=\frac{\pi }{3}$, care se află în intervalul pentru k = 0. Avem $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, ceea ce este mai mult decât unu.