Trigonometrische Ungleichungen

Eine trigonometrische Ungleichung sieht aus wie eine trigonometrische Gleichung, nur steht statt des Gleichheitszeichens <, >, ≤ oder ≥. Nehmen wir zum Beispiel diese:

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

Wir suchen alle x, für die der Sinus größer als ein Halb ist. Einen Teil der Arbeit haben wir schon erledigt. Die Gleichung $\sin x=\frac{1}{2}$ haben wir im Artikel über trigonometrische Gleichungen gelöst, und in einer Umdrehung ergaben sich zwei Lösungen: $\frac{\pi }{6}$ und $\frac{5\pi }{6}$. Diese beiden Zahlen dienen als Grenzen. Irgendwo dazwischen ist der Sinus größer als ein Halb, anderswo kleiner. Es bleibt herauszufinden, wo.

Am Einheitskreis

Am einfachsten sehen wir es am Einheitskreis. Der Sinus eines Winkels ist die y-Koordinate des Punktes auf dem Kreis, die Ungleichung $\sin x>\frac{1}{2}$ fragt also eigentlich: Welche Punkte des Kreises liegen oberhalb der Geraden $y=\frac{1}{2}$?

Die blaue Gerade schneidet den Kreis in zwei Punkten, die den Winkeln $\frac{\pi }{6}$ und $\frac{5\pi }{6}$ entsprechen. Oberhalb der Geraden liegt nur der rote Bogen zwischen ihnen. Solange sich der Schenkel des Winkels gegen den Uhrzeigersinn von $\frac{\pi }{6}$ nach $\frac{5\pi }{6}$ dreht, ist der Sinus größer als ein Halb. Sobald der Schenkel den Bogen verlässt, fällt der Sinus darunter.

Die Randpunkte gehören nicht zur Lösung, deshalb sind im Bild leere Kreise eingezeichnet. Dort ist der Sinus genau $\frac{1}{2}$, und wir wollen streng größer. In einer Umdrehung erhalten wir so das offene Intervall

$$]\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}[.$$

Der Sinus ist aber eine periodische Funktion mit der Periode 2π: Nach jeder vollen Umdrehung wiederholt sich alles. Deshalb addieren wir zu beiden Enden 2kπ und erhalten das Ergebnis

$$x\in ]\frac{\pi }{6}+2k\pi ;\frac{5\pi }{6}+2k\pi [,$$

wobei k ∈ ℤ. Für k = 0 ist das der Bogen aus dem Bild, für k = 1 derselbe Bogen um eine Umdrehung verschoben, also das Intervall $]\frac{13\pi }{6};\frac{17\pi }{6}[$. Die Lösung besteht aus unendlich vielen Intervallen, die immer den Abstand 2π voneinander haben.

Zur Sicherheit prüfen wir es. Probieren wir $x=\frac{\pi }{2}$, das im Intervall liegt. Es gilt $\sin \frac{\pi }{2}=1$, und die Eins ist tatsächlich größer als ein Halb. Dagegen liegt x = π nicht im Intervall, und sin π = 0 ist nicht größer als ein Halb. Das Ergebnis stimmt also.

Intervall über die Null

Kommen wir zum Kosinus:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

Der Kosinus ist die x-Koordinate des Punktes auf dem Kreis, wir suchen also die Punkte rechts von der senkrechten Geraden, die die waagerechte Achse im Punkt $\frac{1}{2}$ schneidet. Die Gleichung $\cos x=\frac{1}{2}$ hat in der ersten Umdrehung ebenfalls zwei Lösungen, $\frac{\pi }{3}$ und $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ sind 60° aus den Tabellenwerten, $\frac{5\pi }{3}$ ist der symmetrische Punkt unterhalb der x-Achse). Der Bogen rechts von der Geraden beginnt unten im Punkt $\frac{5\pi }{3}$, führt über die Null und endet oben im Punkt $\frac{\pi }{3}$.

Und hier ist die Versuchung groß, Folgendes zu schreiben:

$$]\frac{5\pi }{3};\frac{\pi }{3}[.$$

Falle. Das linke Ende des Intervalls muss kleiner sein als das rechte, aber $\frac{5\pi }{3}$ ist größer als $\frac{\pi }{3}$. Ein solches Intervall ist leer, es gibt keine Zahl, die gleichzeitig größer als $\frac{5\pi }{3}$ und kleiner als $\frac{\pi }{3}$ wäre.

Die Korrektur ist einfach. Statt $\frac{5\pi }{3}$ nehmen wir denselben Punkt des Kreises um eine Umdrehung zurück:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

Der Winkel $-\frac{\pi }{3}$ zeigt auf dem Kreis auf dieselbe Stelle wie $\frac{5\pi }{3}$, wir erreichen sie nur durch Drehen im Uhrzeigersinn. Das linke Ende ist jetzt kleiner als das rechte, und das Ergebnis lautet

$$x\in ]-\frac{\pi }{3}+2k\pi ;\frac{\pi }{3}+2k\pi [,$$

wobei k ∈ ℤ. Gut zu sehen ist es auch am Graphen der Kosinusfunktion:

Der rote Abschnitt um die Null entspricht genau dem Intervall für k = 0. Der Abschnitt rechts, der bei $\frac{5\pi }{3}$ beginnt, ist seine Kopie für k = 1, also $]\frac{5\pi }{3};\frac{7\pi }{3}[$. Auch das ist eine richtige Schreibweise, nur mit einem anderen k. Falsch ist erst die, in der die Enden vertauscht sind.

Tangens

Das letzte Beispiel:

$$\tan x\ge 1$$

Der Tangens ist gleich eins für $x=\frac{\pi }{4}$. Auf jedem seiner Äste steigt der Graph des Tangens immer weiter, für etwas größere x ist der Tangens also größer als eins. Er steigt aber nur bis $\frac{\pi }{2}$, wo er gegen unendlich strebt, und danach beginnt er wieder bei minus unendlich. Auf einem Ast des Graphen erfüllt also jede Zahl von $\frac{\pi }{4}$ bis $\frac{\pi }{2}$ die Ungleichung.

Hier macht man gewöhnlich zwei Fehler. Der erste betrifft die Periode. Der Tangens wiederholt sich nicht nach 2π wie der Sinus, sondern schon nach π. Wer aus Gewohnheit 2kπ addiert, verliert die Hälfte der Lösungen, etwa $x=\frac{5\pi }{4}$, wo der Tangens ebenfalls gleich eins ist.

Der zweite lauert am rechten Ende. Das linke Ende $\frac{\pi }{4}$ gehört zur Lösung, weil die Ungleichung nicht streng ist und $\tan \frac{\pi }{4}=1$ sie erfüllt. Das rechte Ende $\frac{\pi }{2}$ gehört dagegen nie dazu, auch nicht bei einer nicht strengen Ungleichung. Der Tangens ist dort nämlich nicht definiert, kann also weder größer als eins noch gleich eins sein. Es wäre ein Fehler, das abgeschlossene Intervall $[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]$ nur deshalb zu schreiben, weil in der Aufgabe ≥ steht.

Richtig ergibt sich also

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi [,$$

wobei k ∈ ℤ. Zur Kontrolle setzen wir $x=\frac{\pi }{3}$ ein, das im Intervall für k = 0 liegt. Es gilt $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, und das ist mehr als eins.