Trigonometriske ulikheter

En trigonometrisk ulikhet ser ut som en trigonometrisk likning, bare at det i stedet for likhetstegnet står <, >, ≤ eller ≥. La oss ta for eksempel denne:

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

Vi leter etter alle x der sinus er større enn en halv. Deler av jobben er allerede gjort. Likningen $\sin x=\frac{1}{2}$ løste vi i artikkelen om trigonometriske likninger, og på én runde fikk vi to løsninger: $\frac{\pi }{6}$ og $\frac{5\pi }{6}$. De to tallene fungerer som grenser. Et sted mellom dem er sinus større enn en halv, andre steder mindre. Det gjenstår å finne ut hvor.

På enhetssirkelen

Enklest ser vi det på enhetssirkelen. Sinus til en vinkel er y-koordinaten til punktet på sirkelen, så ulikheten $\sin x>\frac{1}{2}$ spør egentlig: Hvilke punkter på sirkelen ligger over linjen $y=\frac{1}{2}$?

Den blå linjen skjærer sirkelen i to punkter, som svarer til vinklene $\frac{\pi }{6}$ og $\frac{5\pi }{6}$. Over linjen ligger bare den røde buen mellom dem. Så lenge vinkelbeinet dreier mot klokken fra $\frac{\pi }{6}$ til $\frac{5\pi }{6}$, er sinus større enn en halv. Så snart det forlater buen, faller sinus under en halv.

Endepunktene hører ikke med til løsningen, derfor er det åpne sirkler på bildet. I dem er sinus akkurat lik $\frac{1}{2}$, og vi vil ha strengt større. På én runde får vi dermed det åpne intervallet

$$⟨\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}⟩.$$

Men sinus er en periodisk funksjon med periode 2π: Etter hver hele runde gjentar alt seg. Derfor legger vi 2kπ til begge endene og får resultatet

$$x\in ⟨\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ⟩,$$

der k ∈ ℤ. For k = 0 er det buen fra bildet, for k = 1 den samme buen forskjøvet én runde, altså intervallet $⟨\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}⟩$. Løsningen er uendelig mange intervaller som alltid ligger 2π fra hverandre.

For sikkerhets skyld kontrollerer vi det. La oss prøve $x=\frac{\pi }{2}$, som ligger i intervallet. Det gjelder $\sin \frac{\pi }{2}=1$, og én er virkelig større enn en halv. Omvendt ligger x = π ikke i intervallet, og sin π = 0, som ikke er større enn en halv. Resultatet stemmer altså.

Intervall som går gjennom null

La oss gå til cosinus:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

Cosinus er x-koordinaten til punktet på sirkelen, så vi leter etter punkter til høyre for den loddrette linjen som skjærer den vannrette aksen i punktet $\frac{1}{2}$. Likningen $\cos x=\frac{1}{2}$ har på første runde også to løsninger, $\frac{\pi }{3}$ og $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ er 60° fra tabellverdiene, $\frac{5\pi }{3}$ er det symmetriske punktet under x-aksen). Buen til høyre for linjen begynner i punktet $\frac{5\pi }{3}$ nede, går gjennom null og slutter oppe i punktet $\frac{\pi }{3}$.

Og her er fristelsen stor til å skrive

$$⟨\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}⟩.$$

En felle! Venstre ende av et intervall må være mindre enn den høyre, men $\frac{5\pi }{3}$ er større enn $\frac{\pi }{3}$. Et slikt intervall er tomt, det finnes ikke noe tall som samtidig er større enn $\frac{5\pi }{3}$ og mindre enn $\frac{\pi }{3}$.

Rettingen er enkel. I stedet for $\frac{5\pi }{3}$ tar vi det samme punktet på sirkelen en runde tilbake:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

Vinkelen $-\frac{\pi }{3}$ peker på sirkelen mot det samme stedet som $\frac{5\pi }{3}$, bare at vi kommer dit ved å dreie med klokken. Venstre ende er nå mindre enn den høyre, og resultatet lyder

$$x\in ⟨-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟩,$$

der k ∈ ℤ. Det ser vi godt også på grafen til cosinus:

Den røde delen rundt null svarer nøyaktig til intervallet for k = 0. Delen til høyre, som begynner i $\frac{5\pi }{3}$, er kopien av det for k = 1, altså $⟨\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}⟩$. Også det er en riktig skrivemåte, bare med en annen k. Feil er først den der endene er byttet om.

Tangens

Det siste eksempelet:

$$\tan x\ge 1$$

Tangens er lik én for $x=\frac{\pi }{4}$. På hver gren er grafen til tangens strengt voksende, så for litt større x er tangens større enn én. Men den vokser bare til $\frac{\pi }{2}$, der den stikker av til uendelig, og etter det begynner den på nytt fra minus uendelig. På én gren av grafen oppfyller altså alt fra $\frac{\pi }{4}$ til $\frac{\pi }{2}$ ulikheten.

Her gjør man vanligvis to feil. Den første er i perioden. Tangens gjentar seg ikke etter 2π som sinus, men allerede etter π. Den som av gammel vane legger til 2kπ, mister halvparten av løsningene, for eksempel $x=\frac{5\pi }{4}$, der tangens også er lik én.

Den andre lurer i høyre ende. Venstre ende $\frac{\pi }{4}$ hører med til løsningen, fordi ulikheten ikke er streng og $\tan \frac{\pi }{4}=1$ oppfyller den. Høyre ende $\frac{\pi }{2}$ hører derimot aldri med, ikke engang ved en ikke-streng ulikhet. Tangens er der nemlig ikke definert, så den kan hverken være større enn eller lik én. Det ville være en feil å skrive det lukkede intervallet $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ bare fordi det står ≥ i oppgaven.

Riktig blir det altså

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ⟩,$$

der k ∈ ℤ. Som kontroll setter vi inn $x=\frac{\pi }{3}$, som ligger i intervallet for k = 0. Det gjelder $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, og det er mer enn én.