Inequações trigonométricas

Uma inequação trigonométrica parece uma equação trigonométrica, só que, no lugar do sinal de igualdade, tem <, >, ≤ ou ≥. Tomemos, por exemplo, esta:

$$\mathrm{sen}x>\frac{1}{2}$$

Procuramos todos os x para os quais o seno é maior que um meio. Parte do trabalho já está feita. Resolvemos a equação $\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}$ no artigo sobre equações trigonométricas e, em uma volta, obtivemos duas soluções: $\frac{\pi }{6}$ e $\frac{5\pi }{6}$. Esses dois números funcionam como fronteiras. Em algum lugar entre eles o seno é maior que um meio e, nos outros, é menor. Resta descobrir onde.

Na circunferência trigonométrica

O mais fácil é ver isso na circunferência trigonométrica. O seno de um ângulo é a ordenada do ponto na circunferência, então a inequação $\mathrm{sen}x>\frac{1}{2}$ pergunta, na verdade: quais pontos da circunferência estão acima da reta $y=\frac{1}{2}$?

A reta azul cruza a circunferência em dois pontos, que correspondem aos ângulos $\frac{\pi }{6}$ e $\frac{5\pi }{6}$. Acima da reta está apenas o arco vermelho entre eles. Enquanto o lado do ângulo gira no sentido anti-horário de $\frac{\pi }{6}$ a $\frac{5\pi }{6}$, o seno é maior que um meio. Assim que sai do arco, cai abaixo disso.

Os pontos extremos não fazem parte da solução, por isso há bolinhas vazias na figura. Neles o seno é exatamente igual a $\frac{1}{2}$, e nós queremos estritamente maior. Em uma volta obtemos, portanto, o intervalo aberto

$$]\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}[.$$

Só que o seno é uma função periódica com período 2π: depois de cada volta completa, tudo se repete. Por isso somamos 2kπ aos dois extremos e obtemos o resultado

$$x\in ]\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi [,$$

em que k ∈ ℤ. Para k = 0 é o arco da figura; para k = 1, o mesmo arco deslocado de uma volta, isto é, o intervalo $]\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}[$. A solução é formada por infinitos intervalos, afastados sempre de 2π uns dos outros.

Por garantia, vamos conferir. Tentemos $x=\frac{\pi }{2}$, que pertence ao intervalo. Vale $\mathrm{sen}\frac{\pi }{2}=1$ e um é realmente maior que um meio. Por outro lado, x = π não pertence ao intervalo e sen π = 0, que não é maior que um meio. O resultado, portanto, confere.

Intervalo passando pelo zero

Vamos ao cosseno:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

O cosseno é a abscissa do ponto na circunferência, então procuramos os pontos à direita da reta vertical que cruza o eixo horizontal no ponto $\frac{1}{2}$. A equação $\cos x=\frac{1}{2}$ tem, na primeira volta, também duas soluções, $\frac{\pi }{3}$ e $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ é 60°, dos valores notáveis, e $\frac{5\pi }{3}$ é o ponto simétrico abaixo do eixo x). O arco à direita da reta começa no ponto $\frac{5\pi }{3}$, embaixo, passa pelo zero e termina em cima, no ponto $\frac{\pi }{3}$.

E aqui há uma grande tentação de escrever

$$]\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}[.$$

Pegadinha! O extremo esquerdo do intervalo deve ser menor que o direito, só que $\frac{5\pi }{3}$ é maior que $\frac{\pi }{3}$. Um intervalo assim é vazio: não existe número que seja, ao mesmo tempo, maior que $\frac{5\pi }{3}$ e menor que $\frac{\pi }{3}$.

A correção é simples. No lugar de $\frac{5\pi }{3}$, tomamos o mesmo ponto da circunferência uma volta para trás:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

O ângulo $-\frac{\pi }{3}$ aponta na circunferência para o mesmo lugar que $\frac{5\pi }{3}$, só que chegamos a ele girando no sentido horário. O extremo esquerdo agora é menor que o direito e o resultado é

$$x\in ]-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi [,$$

em que k ∈ ℤ. Isso também se vê bem no gráfico do cosseno:

O trecho vermelho em torno do zero corresponde exatamente ao intervalo para k = 0. O trecho à direita, que começa em $\frac{5\pi }{3}$, é a sua cópia para k = 1, isto é, $]\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}[$. Essa também é uma escrita correta, só que com outro k. Errada é aquela em que os extremos são trocados.

Tangente

Último exemplo:

$$\mathrm{tg}x\ge 1$$

A tangente é igual a um para $x=\frac{\pi }{4}$. Em cada um dos seus ramos, o gráfico da tangente continua crescendo, então, para um x um pouco maior, a tangente é maior que um. Mas ela só cresce até $\frac{\pi }{2}$, onde escapa para o infinito, e depois dele recomeça de menos infinito. Em um ramo do gráfico, portanto, satisfaz a inequação tudo desde $\frac{\pi }{4}$ até $\frac{\pi }{2}$.

Aqui é comum errar em dois pontos. O primeiro erro está no período. A tangente não se repete a cada 2π, como o seno, mas já a cada π. Quem, por hábito, soma 2kπ perde metade das soluções, por exemplo $x=\frac{5\pi }{4}$, onde a tangente também é igual a um.

O segundo espreita no extremo direito. O extremo esquerdo $\frac{\pi }{4}$ faz parte da solução, porque a inequação não é estrita e $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$ a satisfaz. Mas o extremo direito $\frac{\pi }{2}$ nunca faz parte, nem em uma inequação não estrita. Ali a tangente não é definida, então não pode ser maior nem igual a um. Seria um erro escrever o intervalo fechado $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ só porque no enunciado há ≥.

O resultado correto é, portanto,

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi [,$$

em que k ∈ ℤ. Para conferir, substituímos $x=\frac{\pi }{3}$, que pertence ao intervalo para k = 0. Vale $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, que é mais que um.