Trigonometriske uligheder

En trigonometrisk ulighed ligner en trigonometrisk ligning, bare med <, >, ≤ eller ≥ i stedet for lighedstegnet. Tag for eksempel denne:

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

Vi leder efter alle x, for hvilke sinus er større end en halv. En del af arbejdet er allerede gjort. Ligningen $\sin x=\frac{1}{2}$ løste vi i artiklen om trigonometriske ligninger, og på ét omløb fik vi to løsninger: $\frac{\pi }{6}$ og $\frac{5\pi }{6}$. Disse to tal fungerer som grænser. Et sted imellem dem er sinus større end en halv, andre steder er den mindre. Tilbage er at finde ud af, hvor.

På enhedscirklen

Nemmest ser vi det på enhedscirklen. Sinus til en vinkel er y-koordinaten til et punkt på cirklen, så uligheden $\sin x>\frac{1}{2}$ spørger i virkeligheden: hvilke punkter på cirklen ligger over linjen $y=\frac{1}{2}$?

Den blå linje skærer cirklen i to punkter, som svarer til vinklerne $\frac{\pi }{6}$ og $\frac{5\pi }{6}$. Kun den røde bue imellem dem ligger over linjen. Så længe vinklens ben drejer mod uret fra $\frac{\pi }{6}$ til $\frac{5\pi }{6}$, er sinus større end en halv. Så snart det forlader buen, falder sinus under en halv.

Endepunkterne hører ikke med til løsningen, derfor er de tegnet som åbne cirkler på figuren. I dem er sinus lig med præcis $\frac{1}{2}$, og vi vil have strengt større. På ét omløb får vi altså det åbne interval

$$]\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}[.$$

Men sinus er en periodisk funktion med perioden 2π: efter hvert helt omløb gentager alt sig. Derfor lægger vi 2kπ til begge ender og får resultatet

$$x\in ]\frac{\pi }{6}+2k\pi ;\frac{5\pi }{6}+2k\pi [,$$

hvor k ∈ ℤ. For k = 0 er det buen fra figuren, for k = 1 den samme bue flyttet et omløb, altså intervallet $]\frac{13\pi }{6};\frac{17\pi }{6}[$. Løsningen er uendeligt mange intervaller, som ligger 2π fra hinanden.

Til sikkerhed tjekker vi det. Vi prøver $x=\frac{\pi }{2}$, som ligger i intervallet. Der gælder $\sin \frac{\pi }{2}=1$, og én er virkelig større end en halv. Omvendt ligger x = π ikke i intervallet, og sin π = 0, hvilket ikke er større end en halv. Resultatet passer altså.

Interval over nul

Lad os gå til cosinus:

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

Cosinus er x-koordinaten til et punkt på cirklen, så vi leder efter punkter til højre for den lodrette linje, som skærer den vandrette akse i punktet $\frac{1}{2}$. Ligningen $\cos x=\frac{1}{2}$ har på første omløb ligeledes to løsninger, $\frac{\pi }{3}$ og $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ er 60° fra de eksakte værdier, $\frac{5\pi }{3}$ er det symmetriske punkt under x-aksen). Buen til højre for linjen begynder i punktet $\frac{5\pi }{3}$ nede, går over nul og ender oppe i punktet $\frac{\pi }{3}$.

Og her er fristelsen stor til at skrive

$$]\frac{5\pi }{3};\frac{\pi }{3}[.$$

Pas på! Den venstre ende af et interval skal være mindre end den højre, men $\frac{5\pi }{3}$ er større end $\frac{\pi }{3}$. Et sådant interval er tomt, der findes intet tal, som både er større end $\frac{5\pi }{3}$ og mindre end $\frac{\pi }{3}$.

Rettelsen er enkel. I stedet for $\frac{5\pi }{3}$ tager vi det samme punkt på cirklen et omløb tilbage:

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

Vinklen $-\frac{\pi }{3}$ peger på cirklen på samme sted som $\frac{5\pi }{3}$, vi kommer bare til det ved at dreje med uret. Venstre ende er nu mindre end højre, og resultatet lyder

$$x\in ]-\frac{\pi }{3}+2k\pi ;\frac{\pi }{3}+2k\pi [,$$

hvor k ∈ ℤ. Det kan man også godt se på grafen for cosinus:

Det røde stykke omkring nul svarer præcis til intervallet for k = 0. Stykket til højre, som begynder i $\frac{5\pi }{3}$, er dets kopi for k = 1, altså $]\frac{5\pi }{3};\frac{7\pi }{3}[$. Det er også en korrekt skrivemåde, bare med et andet k. Det er først den, hvor enderne er byttet om, der er forkert.

Tangens

Sidste eksempel:

$$\tan x\ge 1$$

Tangens er lig med én for $x=\frac{\pi }{4}$. På hver af sine grene er grafen for tangens hele tiden strengt voksende, så for et lidt større x er tangens større end én. Men den vokser kun til $\frac{\pi }{2}$, hvor den stikker af mod uendelig, og bagefter begynder den igen fra minus uendelig. På én gren af grafen opfylder altså alt fra $\frac{\pi }{4}$ til $\frac{\pi }{2}$ uligheden.

Her begår man almindeligvis to fejl. Den første er i perioden. Tangens gentager sig ikke efter 2π som sinus, men allerede efter π. Den, der af vane lægger 2kπ til, mister halvdelen af løsningerne, for eksempel $x=\frac{5\pi }{4}$, hvor tangens også er lig med én.

Den anden lurer i højre ende. Venstre ende $\frac{\pi }{4}$ hører med til løsningen, fordi uligheden er ikke-streng, og $\tan \frac{\pi }{4}=1$ opfylder den. Højre ende $\frac{\pi }{2}$ hører derimod aldrig med, heller ikke ved en ikke-streng ulighed. Tangens er nemlig dér ikke defineret, så den hverken kan være større end eller lig med én. Det ville være en fejl at skrive et lukket interval $[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]$ bare fordi der i opgaven står ≥.

Korrekt får vi altså

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi [,$$

hvor k ∈ ℤ. Til kontrol indsætter vi $x=\frac{\pi }{3}$, som ligger i intervallet for k = 0. Der gælder $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, hvilket er mere end én.