Inéquations trigonométriques

Une inéquation trigonométrique ressemble à une équation trigonométrique, sauf qu’à la place du signe égal on trouve <, >, ≤ ou ≥. Prenons par exemple celle-ci :

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

Nous cherchons tous les x pour lesquels le sinus est supérieur à un demi. Une partie du travail est déjà faite. Nous avons résolu l’équation $\sin x=\frac{1}{2}$ dans l’article sur les équations trigonométriques, et sur un tour complet elle a deux solutions : $\frac{\pi }{6}$ et $\frac{5\pi }{6}$. Ces deux nombres servent de bornes. Entre eux, le sinus est supérieur à un demi, ailleurs il est inférieur. Il reste à déterminer où.

Sur le cercle trigonométrique

Le plus simple est de le voir sur le cercle trigonométrique. Le sinus d’un angle est l’ordonnée du point du cercle ; l’inéquation $\sin x>\frac{1}{2}$ revient donc à demander quels points du cercle se trouvent au-dessus de la droite $y=\frac{1}{2}$.

La droite bleue coupe le cercle en deux points, qui correspondent aux angles $\frac{\pi }{6}$ et $\frac{5\pi }{6}$. Au-dessus de la droite se trouve seulement l’arc rouge situé entre eux. Tant que le côté de l’angle tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre de $\frac{\pi }{6}$ à $\frac{5\pi }{6}$, le sinus est supérieur à un demi. Dès que le point quitte l’arc, le sinus repasse en dessous.

Les extrémités n’appartiennent pas à l’ensemble des solutions, c’est pourquoi elles sont représentées par de petits cercles vides. En ces points, le sinus vaut exactement $\frac{1}{2}$, alors que nous cherchons une valeur strictement supérieure. Sur un tour, on obtient donc l’intervalle ouvert

$$]\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}[.$$

Mais le sinus est une fonction périodique de période 2π : après chaque tour complet, tout se répète. On ajoute donc 2kπ aux deux extrémités et l’on obtient le résultat

$$x\in ]\frac{\pi }{6}+2k\pi ;\frac{5\pi }{6}+2k\pi [,$$

où k ∈ ℤ. Pour k = 0, c’est l’arc de la figure ; pour k = 1, c’est le même arc décalé d’un tour, soit l’intervalle $]\frac{13\pi }{6};\frac{17\pi }{6}[$. La solution est formée d’une infinité d’intervalles, décalés les uns des autres de 2π.

Vérifions-le. Essayons $x=\frac{\pi }{2}$, qui appartient à l’intervalle. On a $\sin \frac{\pi }{2}=1$, et un est bien supérieur à un demi. En revanche, x = π n’appartient pas à l’intervalle et sin π = 0, qui n’est pas supérieur à un demi. Le résultat est donc cohérent.

Intervalle qui traverse zéro

Passons au cosinus :

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

Le cosinus est l’abscisse du point du cercle ; on cherche donc les points situés à droite de la droite verticale qui coupe l’axe horizontal au point $\frac{1}{2}$. Sur le premier tour, l’équation $\cos x=\frac{1}{2}$ a elle aussi deux solutions, $\frac{\pi }{3}$ et $\frac{5\pi }{3}$ ($\frac{\pi }{3}$ correspond à 60° d’après les valeurs remarquables, et $\frac{5\pi }{3}$ est le point symétrique situé sous l’axe des abscisses). L’arc situé à droite de la droite commence en bas au point $\frac{5\pi }{3}$, passe par zéro et se termine en haut au point $\frac{\pi }{3}$.

Et là, la tentation est grande d’écrire

$$]\frac{5\pi }{3};\frac{\pi }{3}[.$$

Attention, piège ! La borne gauche d’un intervalle doit être inférieure à la borne droite, or $\frac{5\pi }{3}$ est supérieur à $\frac{\pi }{3}$. Un tel intervalle est vide : il n’existe aucun nombre à la fois plus grand que $\frac{5\pi }{3}$ et plus petit que $\frac{\pi }{3}$.

La correction est simple. Au lieu de $\frac{5\pi }{3}$, prenons le même point du cercle, reculé d’un tour :

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

L’angle $-\frac{\pi }{3}$ désigne le même point du cercle que $\frac{5\pi }{3}$, simplement atteint en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre. La borne gauche est maintenant inférieure à la borne droite, et le résultat s’écrit

$$x\in ]-\frac{\pi }{3}+2k\pi ;\frac{\pi }{3}+2k\pi [,$$

où k ∈ ℤ. On le voit bien aussi sur le graphe du cosinus :

La portion rouge autour de zéro correspond exactement à l’intervalle pour k = 0. La portion située plus à droite, qui commence en $\frac{5\pi }{3}$, en est la copie pour k = 1, soit $]\frac{5\pi }{3};\frac{7\pi }{3}[$. C’est aussi une écriture correcte, simplement avec un autre k. Seule est fausse l’écriture où les bornes sont inversées.

Tangente

Dernier exemple :

$$\tan x\ge 1$$

La tangente vaut un pour $x=\frac{\pi }{4}$. Sur chacune de ses branches, le graphe de la tangente ne cesse de croître ; pour des x un peu plus grands, la tangente est donc supérieure à un. Mais elle ne croît que jusqu’à $\frac{\pi }{2}$, où elle part vers l’infini, puis elle repart depuis moins l’infini. Sur une branche du graphe, l’inéquation est donc vérifiée pour tout ce qui va de $\frac{\pi }{4}$ jusqu’à $\frac{\pi }{2}$.

On commet ici souvent deux erreurs. La première concerne la période : la tangente ne se répète pas tous les 2π comme le sinus, mais déjà tous les π. Si l’on ajoute par habitude 2kπ, on perd la moitié des solutions, par exemple $x=\frac{5\pi }{4}$, où la tangente vaut également un.

La seconde erreur guette à droite. La borne gauche $\frac{\pi }{4}$ appartient à l’ensemble des solutions, car l’inéquation est large et $\tan \frac{\pi }{4}=1$ la vérifie. Mais la borne droite $\frac{\pi }{2}$ n’appartient jamais à l’ensemble des solutions, même pour une inéquation large. En effet, la tangente n’y est pas définie, donc elle ne peut être ni supérieure ni égale à un. Ce serait une faute d’écrire l’intervalle fermé $[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]$ simplement parce que l’énoncé comporte ≥.

On obtient donc, correctement :

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi [,$$

où k ∈ ℤ. Pour vérifier, prenons $x=\frac{\pi }{3}$, qui appartient à l’intervalle pour k = 0. On a $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,73$, ce qui est bien supérieur à un.