Tasaisesti kiihtyvä liike

Raitiovaunu seisoo pysäkillä, ovet sulkeutuvat ja raitiovaunu lähtee liikkeelle kiihtyvyydellä 1 m/s². Joka sekunti se ajaa 1 m/s nopeammin: ensimmäisen sekunnin jälkeen 1 m/s, toisen jälkeen 2 m/s, kymmenennen jälkeen 10 m/s. Liikettä suoraa pitkin, jossa kiihtyvyys pysyy vakiona, sanotaan tasaisesti kiihtyväksi suoraviivaiseksi liikkeeksi. Tasaisesti siksi, että nopeus kasvaa tasaisesti, joka sekunti yhtä paljon. Täysin vakiota kiihtyvyyttä ei ole millään raitiovaunulla eikä autolla, mutta vihreissä valoissa liikkeelle lähtö tai kädestä pudotettu kivi ovat siihen hyvin lähellä.

Nopeus mielivaltaisella hetkellä

Kuinka nopeasti raitiovaunu ajaa seitsemän sekunnin jälkeen? Vastaat luultavasti 7 m/s, ja olet oikeassa. Yleinen kaava johdetaan kiihtyvyyden kaavasta $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Sekuntikello käynnistetään hetkellä, jolloin liikettä aletaan seurata, joten aika Δt on yksinkertaisesti sekuntikellon aika t. Nopeuden muutos on v − v₀, missä v₀ on alkunopeus, joka kappaleella oli, kun sekuntikello käynnistettiin. Kerrotaan molemmat puolet ajalla ja lisätään alkunopeus:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Nopeus ajanhetkellä t on siis

$$v=v_0+a\cdot t$$

Alkuperäiseen nopeuteen tulee joka sekunti lisää a, ajassa t siis a · t. Raitiovaunu lähtee levosta, v₀ = 0 m/s, ja kymmenen sekunnin kuluttua se ajaa nopeudella

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Metrit sekunnin neliötä kohti kerrottuna sekunneilla antavat metrejä sekunnissa, yksiköt täsmäävät. Kilometreiksi tunnissa muunnettiin kertomalla luvulla 3,6.

Nopeuden kuvaaja on suora

Kaava v = v₀ + a · t näyttää samalta kuin s = s₀ + v · t, matkan kaava vakionopeudella. Se on lineaarinen funktio y = a · x + b, vain x:n paikalla on aika, y:n paikalla nopeus, kulmakertoimena kiihtyvyys ja b on alkunopeus. Nopeuden kuvaaja on siksi suora.

Punainen suora kuuluu raitiovaunulle, se alkaa origosta ja nousee sekunnissa 1 m/s. Sininen kuuluu autolle, joka matelee traktorin perässä nopeudella 10 m/s, eli 36 km/h. Kuljettajan kärsivällisyys loppuu, hän painaa kaasua ja haluaa ohittaa traktorin. Auton kiihtyvyys on nyt 2 m/s². Sen kuvaaja alkaa pystyakselilta korkeudelta v₀ = 10 m/s ja nousee kaksi kertaa jyrkemmin kuin raitiovaunun. Nopeuden kuvaajan jyrkkyys on kiihtyvyys, aivan kuten matkan kuvaajan jyrkkyys on nopeus.

Matka on kuvaajan alla oleva ala

Kuinka monta metriä auto kulkee ohittaessaan? Vakionopeudella matka on piilossa nopeuden kuvaajan alla olevassa alassa. Kuvaaja on siinä vaakasuora ja sen alla oleva ala suorakulmio. Onko siinä järkeä myös nousevalla kuvaajalla? Pilkotaan aika ohuiksi kaistoiksi, vaikka sadasosasekunnin levyisiksi. Sadasosasekunnissa auton nopeus muuttuu vain 0,02 m/s, joten jokaisen kaistan aikana auto ajaa lähes vakionopeudella ja kulkee yhtä pitkän matkan kuin kaistan pinta-ala, korkeus kertaa leveys. Mitä ohuemmat kaistat, sitä tarkemmin se pätee. Kun kaikkien kaistojen matkat lasketaan yhteen, saadaan koko kuvaajan alla oleva ala.

Nopeuden kuvaajan alla on puolisuunnikas. Vaakasuora katkoviiva jakaa sen siniseksi suorakulmioksi ja punaiseksi kolmioksi. Sinisen suorakulmion leveys on t ja korkeus v₀. Sen pinta-ala v₀ · t vastaa matkaa, jonka auto kulkisi, jos se ei kiihtyisi lainkaan.

Punainen kolmio on palkinto kiihdyttämisestä, lisämatka verrattuna ajoon alkuperäisellä nopeudella. Se on suorakulmainen, yksi sen kateeteista on aika t ja toinen nopeuden lisäys Δv = a · t. Tällainen kolmio on puolet samansivuisesta suorakulmiosta, joten sen pinta-ala on

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Suorakulmio ja kolmio yhdessä antavat tasaisesti kiihtyvän liikkeen matkan:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Kun kappale lähtee levosta, suorakulmio katoaa ja jäljelle jää vain kolmio, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Raitiovaunu kulkee kymmenessä sekunnissa

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Sekunnin neliö supistuu ja jäljelle jäävät metrit.

Yksinkertaisempaa olisi laskea s = v · t loppunopeudella: 10 m/s · 10 s = 100 m. Se on kaksi kertaa enemmän, koska nopeudella 10 m/s raitiovaunu ajoi vasta aivan lopussa. Kuvaajassa mitattaisiin kolmion sijaan koko suorakulmion, ja sen ala on kaksinkertainen.

Traktorin ohitus

Käydään nyt koko ohitus läpi vaihe vaiheelta. Auto kiihtyy viisi sekuntia. Kuinka nopeasti se sen jälkeen ajaa ja kuinka monta metriä se sillä välin kulkee? Ensin tehtävänanto:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Yksiköt ovat perusyksiköitä ja yleiset kaavat ovat jo valmiina. Luvut sijoitetaan ensin nopeuden kaavaan:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Ja matkan kaavaan:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Kuvan sinisen suorakulmion ala on siis 50 m ja punaisen kolmion 25 m. Onko tulos järkevä? Jos auto ajaisi koko ajan alkuperäistä 10 m/s, se kulkisi 50 m, jos se ajaisi koko ajan loppunopeutta 20 m/s, se kulkisi 100 m. Tulos on näiden kahden arvon välissä. Auto kiihtyy viidessä sekunnissa nopeuteen 72 km/h ja kulkee 75 m.

Traktori jatkoi sillä välin nopeudella 10 m/s ja kulki 50 m, aivan kuten sininen suorakulmio. Auto kulki siis viidessä sekunnissa traktoria 25 m pidemmälle, täsmälleen punaisen kolmion alan verran. Jos traktorin perässä olisi pitkä perävaunu, kuljettajan täytyisi kiihdyttää pidempään.

Keskinopeus on täsmälleen keskellä

Puolisuunnikkaan alan voi laskea myös kerralla: yhdensuuntaisten sivujen keskiarvo kertaa korkeus. Yhdensuuntaiset sivut ovat tässä v₀ ja v, korkeus on aika:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Matkan voi kuitenkin kirjoittaa myös keskinopeutena kertaa aika, s = v_k · t. Siksi tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä pätee

$$v_k=\frac{v_0+v}{2}.$$

Keskinopeus on täsmälleen alku- ja loppunopeuden puolivälissä. Autolla se on 15 m/s, ja 15 m/s · 5 s on jälleen 75 m. Se toimii vain siksi, että nopeuden kuvaaja on suora. Muualla keskinopeuden ei tarvitse olla keskellä, esimerkiksi menomatkalla 60, takaisin 40 -tehtävässä.

Välit 1 : 3 : 5 : 7

Kun liikkeelle lähtevä auto jättää joka sekunti merkin, välit kasvavat suhteessa 1:3:5:7:9. Nopeuden kuvaajasta sen näkee ensi silmäyksellä.

Raitiovaunun kuvaajan alla oleva ala on pilkottu sekunnin kaistoihin, vuoroin punaisiin ja sinisiin. Jokaisen kaistan ala on matka, jonka raitiovaunu kulki sen sekunnin aikana. Valkoiset viivat jakavat alan yhtä suuriin pieniin kolmioihin, joista kukin on puolet ruudusta 1 s kertaa 1 m/s. Ensimmäisessä kaistassa on yksi kolmio, toisessa kolme, kolmannessa viisi ja neljännessä seitsemän. Jokainen seuraava kaista on ruudun verran korkeampi, ja siksi siihen tulee kaksi kolmiota lisää. Yksittäisten sekuntien matkat, ja niiden mukana merkkien välit, ovat suhteessa 1:3:5:7.

Kun kaistat lasketaan yhteen, saadaan matka lähdöstä: yhden sekunnin jälkeen yksi kolmio, kahden jälkeen 1 + 3 = 4, kolmen jälkeen 1 + 3 + 5 = 9, neljän jälkeen 16. Joka kerta tulee sekuntien lukumäärän neliö, täsmälleen kaavan $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ mukaan. Toinen kiihtyvyys jyrkentäisi tai loiventaisi kuvaajaa, mutta kolmioiden lukumäärät pysyisivät samoina.

Matkan kuvaaja on paraabeli

Kirjoitetaan raitiovaunun matkat $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ täysien sekuntien kohdalla. Yhdessä sekunnissa se kulkee 0,5 m, kahdessa 2 m, kolmessa 4,5 m, neljässä 8 m ja kymmenessä 50 m. Kaksi kertaa pidempi aika antaa nelinkertaisen matkan, kolme kertaa pidempi yhdeksänkertaisen, koska aika korotetaan kaavassa toiseen potenssiin.

Pisteet eivät ole enää suoralla vaan kaarevalla käyrällä, jota sanotaan paraabeliksi. Miksi se taipuu ylöspäin? Matkan kuvaajan jyrkkyys on nopeus, ja se kasvaa raitiovaunulla koko ajan. Alussa raitiovaunu seisoo ja kuvaaja on vaakasuora, sitten se jyrkkenee yhä enemmän. Harmaa katkoviivasuora on kuvaaja liikkeelle vakiokeskinopeudella 5 m/s, joka päättyy kymmenen sekunnin kuluttua samaan pisteeseen. Raitiovaunu jää aluksi jälkeen ja kuroo loppua kohti tappionsa kiinni.

Matemaatikko sanoisi, että matka on ajan toisen asteen polynomifunktio, koska siinä esiintyy aika toisessa potenssissa. Jokaisen toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli, myös autolla, joka ei lähde levosta. Sen kuvaaja $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ ei kuitenkaan ala vaakasuorana. Auto ajaa jo alussa nopeudella 10 m/s, ja siksi kuvaaja lähtee origosta heti jyrkkyydellä 10 m/s ja nousee sitten yhä jyrkemmin. Lisää paraabelista löydät toisen asteen polynomifunktion yhteydestä.

Nopeus ilman aikaa

Raitiovaunu kiihtyy nopeuteen 50 km/h noin neljässätoista sekunnissa. Kuinka monta metriä se sillä aikaa kulkee? Sen voisi laskea ajan kautta, mutta onnistuu se ilman aikaakin: on kaava, jossa aikaa ei esiinny lainkaan. Kaavasta v = v₀ + a · t ratkaistaan aika, $t=\frac{v-v_0}{a}$, ja sijoitetaan se keskinopeuden kaavaan:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

Osoittajan sulut kerrotaan auki ja keskimmäiset termit kumoavat toisensa:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Saadaan siis $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Kerrotaan molemmat puolet luvulla 2 · a ja lisätään $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Tarkistetaan se autolla: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², ja se on todella (20 m/s)².

Raitiovaunu lähtee levosta, joten v² = 2 · a · s ja matka on $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Nopeutta ei pyöristetä, vaan se sijoitetaan kaavaan murtolukuna:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Kiihtyäkseen viiteenkymmeneen kilometriin tunnissa raitiovaunu tarvitsee lähes sata metriä raidetta.

Samat kaavat toimivat myös jarrutukseen, vain negatiivisella kiihtyvyydellä, kun positiivinen suunta osoittaa ajosuuntaan. Jos auto jarruttaa pysähtymiseen asti, loppunopeus on nolla ja yhtälö $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ kertoo, kuinka monta metriä se tarvitsee pysähtyäkseen. Se on jarrutusmatka, joka kasvaa nopeuden mukana paljon nopeammin kuin kuljettajat haluaisivat.

Kuinka monta metriä auto todella tarvitsee, kun jarrutusmatkaan lasketaan mukaan myös hetki, ennen kuin kuljettaja ylipäätään painaa jarrua, ja miksi kaksinkertaisesta nopeudesta auto tarvitsee nelinkertaisen jarrutusmatkan, lasketaan seuraavassa artikkelissa, Jarrutus ja jarrutusmatka.