Movimento uniformemente variado

Um VLT, o bonde moderno, está parado na estação, as portas se fecham e ele arranca com aceleração de 1 m/s². A cada segundo ele anda 1 m/s mais depressa: depois do primeiro segundo a 1 m/s, depois do segundo a 2 m/s, depois do décimo a 10 m/s. Chamamos de movimento retilíneo uniformemente variado o movimento em linha reta em que a aceleração permanece constante. Uniformemente porque a velocidade aumenta de modo uniforme, a cada segundo na mesma medida. Nenhum VLT nem carro tem aceleração perfeitamente constante, mas a arrancada no sinal verde ou uma pedra solta da mão chegam muito perto disso.

Velocidade em qualquer instante

Quanto anda o VLT depois de sete segundos? Provavelmente você responderá 7 m/s e tem razão. Deduzimos a fórmula geral da fórmula da aceleração $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Ligamos o cronômetro no momento em que começamos a observar o movimento, então o tempo Δt é simplesmente o tempo t no cronômetro. A variação da velocidade é v − v₀, onde v₀ é a velocidade inicial, que o corpo tinha quando disparamos o cronômetro. Multiplicamos os dois lados pelo tempo e somamos a velocidade inicial:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

A velocidade no tempo t é, portanto,

$$v=v_0+a\cdot t$$

A cada segundo, a se soma à velocidade original e, em t segundos, portanto, a · t. O VLT parte do repouso, v₀ = 0 m/s, e depois de dez segundos anda a

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Metros por segundo ao quadrado multiplicados por segundos dão metros por segundo, as unidades conferem. Para quilômetros por hora convertemos multiplicando pelo número 3,6.

O gráfico da velocidade é uma reta

A fórmula v = v₀ + a · t tem o mesmo aspecto que s = s₀ + v · t, a fórmula da distância com velocidade constante. É uma função afim y = a · x + b, só que no lugar de x está o tempo, no lugar de y a velocidade, o coeficiente angular é a aceleração e b é a velocidade inicial. O gráfico da velocidade é, por isso, uma reta.

A reta vermelha pertence ao VLT, começa na origem e a cada segundo sobe 1 m/s. A azul pertence a um carro que se arrasta atrás de um trator a 10 m/s, ou seja, 36 km/h. O motorista perde a paciência, pisa fundo e quer ultrapassar o trator. O carro agora tem aceleração de 2 m/s². O gráfico dele começa no eixo vertical, na altura v₀ = 10 m/s, e sobe duas vezes mais inclinado do que o gráfico do VLT. A inclinação do gráfico da velocidade é a aceleração, assim como a inclinação do gráfico da distância é a velocidade.

A distância é a área sob o gráfico

Quantos metros o carro percorre na ultrapassagem? Com velocidade constante, a distância está escondida na área sob o gráfico da velocidade. O gráfico ali é horizontal e a área sob ele é um retângulo. Isso faz sentido também para um gráfico que sobe? Cortamos o tempo em faixas finas, por exemplo de um centésimo de segundo. Em um centésimo de segundo a velocidade do carro muda apenas 0,02 m/s, então em cada faixa o carro anda com velocidade quase constante e percorre tanto quanto a área da faixa, altura vezes largura. Quanto mais finas as faixas, com mais exatidão isso vale. Quando somamos as distâncias de todas as faixas, obtemos a área inteira sob o gráfico.

Sob o gráfico da velocidade há um trapézio. A linha horizontal tracejada o corta em um retângulo azul e um triângulo vermelho. O retângulo azul tem largura t e altura v₀. A área dele, v₀ · t, corresponde à distância que o carro percorreria se não acelerasse de jeito nenhum.

O triângulo vermelho é o prêmio por acelerar, a distância a mais em comparação com andar na velocidade original. Ele é retângulo, um cateto dele é o tempo t e o outro, o aumento de velocidade Δv = a · t. Um triângulo desses é metade de um retângulo com os mesmos lados, então a área dele é

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

O retângulo e o triângulo juntos dão a distância do movimento uniformemente variado:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Quando o corpo parte do repouso, o retângulo desaparece e fica só o triângulo, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. O VLT, em dez segundos, percorre

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Os segundos ao quadrado se cancelam e sobram os metros.

Dá vontade de fazer um cálculo mais simples, s = v · t com a velocidade final: 10 m/s · 10 s = 100 m. Isso é o dobro, porque o VLT só andou a 10 m/s no final de tudo. No gráfico, no lugar do triângulo mediríamos o retângulo inteiro, e este tem área duas vezes maior.

Ultrapassagem do trator

Agora vamos percorrer a ultrapassagem inteira, passo a passo. O carro acelera por cinco segundos. Com que velocidade ele andará então e quantos metros percorrerá nesse tempo? Primeiro os dados:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

As unidades são as fundamentais e já temos as fórmulas gerais. Primeiro colocamos os números na fórmula da velocidade:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

E na fórmula da distância:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

O retângulo azul da figura tem, então, área 50 m e o triângulo vermelho 25 m. O resultado faz sentido? Se o carro andasse o tempo todo com os 10 m/s originais, percorreria 50 m; se andasse o tempo todo com os 20 m/s finais, percorreria 100 m. O resultado fica entre esses dois valores. O carro, em cinco segundos, acelera até 72 km/h e percorre 75 m.

O trator, enquanto isso, continuou a 10 m/s e percorreu 50 m, como o retângulo azul. O carro, assim, em cinco segundos, ganhou do trator 25 m, justamente a área do triângulo vermelho. Se o trator puxasse um reboque comprido, o motorista teria de acelerar por mais tempo.

A velocidade média fica exatamente no meio

Também conseguimos calcular a área do trapézio de uma vez: a média dos dois lados paralelos vezes a altura. Os lados paralelos aqui são v₀ e v e a altura é o tempo:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Também sabemos, porém, escrever a distância como velocidade média vezes tempo, s = v_m · t. Por isso, no movimento uniformemente variado vale

$$v_m=\frac{v_0+v}{2}.$$

A velocidade média fica exatamente no meio entre a inicial e a final. No carro, ela é 15 m/s e 15 m/s · 5 s é de novo 75 m. Isso funciona só porque o gráfico da velocidade é uma reta. Em outros casos, a velocidade média não precisa ficar no meio, por exemplo no percurso ida a 60, volta a 40.

Espaçamentos 1 : 3 : 5 : 7

Quando um carro que arranca deixa uma marca a cada segundo, os espaçamentos crescem na razão 1:3:5:7:9. No gráfico da velocidade isso se vê à primeira vista.

Cortamos a área sob o gráfico do VLT em faixas de um segundo, alternadamente vermelhas e azuis. A área de cada faixa é a distância que o VLT percorreu durante aquele segundo. As linhas brancas dividem a área em trianguinhos iguais, cada um é metade de um quadradinho de 1 s vezes 1 m/s. Na primeira faixa há um triangulozinho, na segunda três, na terceira cinco e na quarta sete. Cada faixa seguinte é um quadradinho mais alta e, por isso, nela se acrescentam dois trianguinhos. As distâncias em cada segundo e, com elas, os espaçamentos das marcas, estão na razão 1:3:5:7.

Quando somamos as faixas, obtemos a distância desde a largada: depois de um segundo um trianguinho, depois de dois 1 + 3 = 4, depois de três 1 + 3 + 5 = 9, depois de quatro 16. Sempre sai o quadrado do número de segundos, exatamente conforme a fórmula $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Outra aceleração tornaria o gráfico mais inclinado ou mais achatado, mas os números de trianguinhos continuariam os mesmos.

O gráfico da distância é uma parábola

Anotamos as distâncias do VLT $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ nos segundos inteiros. Em um segundo ele percorre 0,5 m, em dois 2 m, em três 4,5 m, em quatro 8 m e em dez 50 m. Um tempo duas vezes maior dá uma distância quatro vezes maior, um tempo três vezes maior, nove vezes maior, porque na fórmula o tempo é elevado ao quadrado.

Os pontos já não ficam sobre uma reta, mas sobre uma linha curva chamada parábola. Por que ela se curva para cima? A inclinação do gráfico da distância é a velocidade, e a do VLT cresce sem parar. No início o VLT está parado e o gráfico é horizontal, depois fica cada vez mais inclinado. A reta cinza tracejada é o gráfico do movimento com velocidade média constante de 5 m/s, que em dez segundos termina no mesmo ponto. O VLT primeiro fica para trás e, no fim, recupera a perda.

Um matemático diria que a distância é uma função quadrática do tempo, porque nela aparece o tempo ao quadrado. O gráfico de toda função quadrática é uma parábola, também no carro que não parte do repouso. O gráfico dele $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$, porém, não começa na horizontal. O carro já no início anda a 10 m/s, e então o gráfico sai da origem direto com inclinação de 10 m/s e depois se ergue cada vez mais íngreme. Mais sobre a parábola você encontra na função quadrática.

Velocidade sem o tempo

O VLT atinge 50 km/h em cerca de catorze segundos. Quantos metros ele percorre nesse tempo? Dava para calcular pelo tempo, mas dá também sem ele: existe uma fórmula em que o tempo não aparece de jeito nenhum. Da fórmula v = v₀ + a · t isolamos o tempo, $t=\frac{v-v_0}{a}$, e o colocamos na fórmula com a velocidade média:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

No numerador, aplicamos a distributiva e os termos do meio se cancelam um ao outro:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Temos, então, $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Multiplicamos os dois lados por 2 · a e somamos $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Vamos conferir no carro: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², e isso é realmente (20 m/s)².

O VLT parte do repouso, então v² = 2 · a · s e a distância é $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Não vamos arredondar a velocidade, vamos colocá-la na fórmula como fração:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Para chegar a 50 km/h, o VLT precisa de quase cem metros de trilho.

As mesmas fórmulas funcionam também para a frenagem, só que com aceleração negativa, quando o sentido positivo aponta no sentido da marcha. Se o carro freia até parar, a velocidade final é nula e a relação $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ diz quantos metros ele precisa para parar. Essa é a distância de frenagem, que cresce com a velocidade muito mais depressa do que os motoristas gostariam.

No próximo artigo, Frenagem e distância de frenagem, calcularemos quantos metros o carro realmente precisa quando somamos à distância de frenagem também o instante até o motorista sequer pisar no freio, e por que um carro com o dobro da velocidade precisa de uma distância de frenagem quatro vezes maior.