Eenparig versnelde beweging

De tram staat bij de halte, de deuren sluiten en de tram trekt op met een versnelling van 1 m/s². Elke seconde rijdt hij 1 m/s sneller: na de eerste seconde 1 m/s, na de tweede 2 m/s, na de tiende 10 m/s. Een beweging langs een rechte lijn waarbij de versnelling constant blijft, noemen we een eenparig versnelde rechtlijnige beweging. Eenparig, omdat de snelheid eenparig toeneemt, elke seconde met hetzelfde stuk. Een volkomen constante versnelling heeft geen enkele tram of auto, maar optrekken bij groen licht of een steen die je uit je hand laat vallen komen er heel dicht bij.

Snelheid op elk moment

Hoe hard rijdt de tram na zeven seconden? Je antwoordt waarschijnlijk 7 m/s en dat klopt. De algemene formule leiden we af uit de formule voor versnelling $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. De stopwatch zetten we aan op het moment dat we de beweging gaan volgen, dus de tijd Δt is gewoon de tijd t op de stopwatch. De verandering van de snelheid is v − v₀, waarbij v₀ de beginsnelheid is, die het voorwerp had toen we de stopwatch startten. Beide kanten vermenigvuldigen we met de tijd en we tellen de beginsnelheid erbij op:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

De snelheid op tijdstip t is dus

$$v=v_0+a\cdot t$$

Bij de oorspronkelijke snelheid komt elke seconde a erbij, in t seconden dus a · t. De tram vertrekt uit stilstand, v₀ = 0 m/s, en na tien seconden rijdt hij

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Meter per seconde in het kwadraat vermenigvuldigd met seconden geeft meter per seconde, de eenheden kloppen. Naar kilometer per uur hebben we omgerekend door met 3,6 te vermenigvuldigen.

De snelheidsgrafiek is een rechte lijn

De formule v = v₀ + a · t ziet er hetzelfde uit als s = s₀ + v · t, de formule voor de afgelegde weg bij constante snelheid. Het is een lineaire functie y = a · x + b, alleen staat in plaats van x de tijd, in plaats van y de snelheid, is de richtingscoëfficiënt de versnelling en is b de beginsnelheid. De grafiek van de snelheid is daarom een rechte lijn.

De rode lijn hoort bij de tram, begint in de oorsprong en stijgt per seconde 1 m/s. De blauwe hoort bij een auto die achter een tractor aan kruipt met 10 m/s, dus 36 km/h. De bestuurder verliest zijn geduld, geeft gas en wil de tractor inhalen. De auto heeft nu een versnelling van 2 m/s². Zijn grafiek begint op de verticale as op hoogte v₀ = 10 m/s en stijgt twee keer zo steil als de grafiek van de tram. De steilheid van de snelheidsgrafiek is de versnelling, net zoals de steilheid van de grafiek van de afgelegde weg de snelheid is.

De afgelegde weg is de oppervlakte onder de grafiek

Hoeveel meter legt de auto bij het inhalen af? Bij constante snelheid zit de afgelegde weg verstopt in de oppervlakte onder de snelheidsgrafiek. De grafiek is daar horizontaal en de oppervlakte eronder een rechthoek. Is dat ook zinvol bij een grafiek die stijgt? We snijden de tijd in dunne stroken, bijvoorbeeld van een honderdste seconde. In een honderdste seconde verandert de snelheid van de auto maar met 0,02 m/s, dus in elke strook rijdt de auto met bijna constante snelheid en legt hij zoveel af als de oppervlakte van de strook, hoogte keer breedte. Hoe dunner de stroken, hoe nauwkeuriger dat geldt. Als we de wegen van alle stroken optellen, krijgen we de hele oppervlakte onder de grafiek.

Onder de snelheidsgrafiek ligt een trapezium. De horizontale gestippelde lijn snijdt het in een blauwe rechthoek en een rode driehoek. De blauwe rechthoek is t breed en v₀ hoog. Zijn oppervlakte v₀ · t komt overeen met de weg die de auto zou afleggen als hij helemaal niet versnelde.

De rode driehoek is de beloning voor het versnellen, de extra weg ten opzichte van rijden met de oorspronkelijke snelheid. Hij is rechthoekig, de ene rechthoekszijde is de tijd t en de andere de toename van de snelheid Δv = a · t. Zo'n driehoek is de helft van een rechthoek met dezelfde zijden, dus zijn oppervlakte is

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

De rechthoek en de driehoek samen geven de afgelegde weg van een eenparig versnelde beweging:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Als het voorwerp uit stilstand vertrekt, verdwijnt de rechthoek en blijft alleen de driehoek over, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. De tram legt in tien seconden de volgende weg af:

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

De seconden in het kwadraat vallen weg en er blijven meters over.

Een eenvoudiger berekening ligt voor de hand, s = v · t met de eindsnelheid: 10 m/s · 10 s = 100 m. Dat is twee keer zoveel, omdat de tram pas helemaal aan het eind 10 m/s reed. In de grafiek zouden we in plaats van een driehoek de hele rechthoek meten, en die heeft een twee keer zo grote oppervlakte.

Een tractor inhalen

Nu nemen we het hele inhalen stap voor stap door. De auto versnelt vijf seconden. Hoe snel rijdt hij dan en hoeveel meter heeft hij intussen afgelegd? Eerst de gegevens:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

De eenheden zijn basiseenheden en de algemene formules hebben we al. De getallen vullen we eerst in de formule voor de snelheid in:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

En in de formule voor de afgelegde weg:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

De blauwe rechthoek in de afbeelding heeft dus een oppervlakte van 50 m en de rode driehoek 25 m. Is het resultaat zinnig? Als de auto de hele tijd de oorspronkelijke 10 m/s zou rijden, zou hij 50 m afleggen, als hij de hele tijd de eindsnelheid van 20 m/s zou rijden, zou hij 100 m afleggen. Het resultaat ligt tussen deze twee waarden. De auto versnelt in vijf seconden tot 72 km/h en legt 75 m af.

De tractor reed intussen door met 10 m/s en legde 50 m af, net als de blauwe rechthoek. De auto is in vijf seconden dus 25 m op de tractor ingelopen, precies de oppervlakte van de rode driehoek. Als de tractor een lange aanhanger trok, zou de automobilist langer moeten optrekken.

De gemiddelde snelheid ligt precies in het midden

De oppervlakte van het trapezium kunnen we ook in één keer uitrekenen: het gemiddelde van de twee evenwijdige zijden keer de hoogte. De evenwijdige zijden zijn hier v₀ en v, de hoogte is de tijd:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

De afgelegde weg kunnen we ook schrijven als gemiddelde snelheid keer tijd, s = v_gem · t. Daarom geldt bij eenparig versnelde beweging

$$v_{\mathrm{gem}}=\frac{v_0+v}{2}.$$

De gemiddelde snelheid ligt precies in het midden tussen de begin- en de eindsnelheid. Bij de auto is dat 15 m/s en 15 m/s · 5 s is weer 75 m. Het werkt alleen omdat de snelheidsgrafiek een rechte lijn is. Elders hoeft de gemiddelde snelheid niet in het midden te liggen, bijvoorbeeld bij de reis heen 60, terug 40.

Afstanden 1 : 3 : 5 : 7

Als een optrekkende auto elke seconde een markering achterlaat, nemen de afstanden toe in de verhouding 1:3:5:7:9. In de snelheidsgrafiek zie je dat in één oogopslag.

De oppervlakte onder de grafiek van de tram hebben we in stroken van een seconde gesneden, afwisselend rood en blauw. De oppervlakte van elke strook is de weg die de tram in die seconde aflegde. De witte lijnen verdelen de oppervlakte in gelijke driehoekjes, elk de helft van een hokje van 1 s keer 1 m/s. In de eerste strook zit één driehoekje, in de tweede drie, in de derde vijf en in de vierde zeven. Elke volgende strook is een hokje hoger, en daarom komen er twee driehoekjes bij. De wegen per seconde, en daarmee de afstanden tussen de markeringen, zijn in de verhouding 1:3:5:7.

Als we de stroken optellen, krijgen we de afgelegde weg vanaf de start: na één seconde één driehoekje, na twee 1 + 3 = 4, na drie 1 + 3 + 5 = 9, na vier 16. Telkens komt het kwadraat van het aantal seconden uit, precies volgens de formule $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Een andere versnelling zou de grafiek steiler of vlakker maken, maar het aantal driehoekjes zou hetzelfde blijven.

De grafiek van de afgelegde weg is een parabool

We noteren de afgelegde wegen van de tram $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ na hele seconden. In één seconde legt hij 0,5 m af, in twee 2 m, in drie 4,5 m, in vier 8 m en in tien 50 m. Een twee keer zo lange tijd geeft een vier keer zo lange weg, een drie keer zo lange tijd een negen keer zo lange, omdat de tijd in de formule in het kwadraat staat.

De punten liggen niet meer op een rechte lijn, maar op een gekromde lijn die parabool heet. Waarom buigt hij omhoog? De steilheid van de grafiek van de afgelegde weg is de snelheid, en die neemt bij de tram voortdurend toe. In het begin staat de tram stil en is de grafiek horizontaal, daarna wordt hij steeds steiler. De grijze gestippelde lijn is de grafiek van een beweging met een constante gemiddelde snelheid van 5 m/s, die na tien seconden op hetzelfde punt eindigt. De tram blijft eerst achter en haalt tegen het einde zijn achterstand in.

Een wiskundige zegt dat de afgelegde weg een kwadratische functie van de tijd is, omdat de tijd erin in het kwadraat voorkomt. De grafiek van elke kwadratische functie is een parabool, ook bij een auto die niet uit stilstand vertrekt. Zijn grafiek $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ begint echter niet horizontaal. De auto rijdt al aan het begin 10 m/s, en zo begint de grafiek in de oorsprong meteen met een steilheid van 10 m/s en gaat dan steeds steiler omhoog. Meer over de parabool vind je bij de kwadratische functie.

Snelheid zonder tijd

De tram trekt in ongeveer veertien seconden op tot 50 km/h. Hoeveel meter legt hij daarbij af? Je zou het via de tijd kunnen uitrekenen, maar het kan ook zonder: er is een formule waarin de tijd helemaal niet voorkomt. Uit de formule v = v₀ + a · t maken we de tijd, $t=\frac{v-v_0}{a}$, en vullen die in de formule met de gemiddelde snelheid in:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

De haakjes in de teller werken we uit en de middelste termen vallen tegen elkaar weg:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

We hebben dus $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Beide kanten vermenigvuldigen we met 2 · a en we tellen $v_0^2$ erbij op:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

We controleren hem aan de auto: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², en dat is inderdaad (20 m/s)².

De tram vertrekt uit stilstand, dus v² = 2 · a · s en de afgelegde weg is $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. De snelheid ronden we niet af, we vullen haar als breuk in de formule in:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Om op 50 km/h te komen, heeft de tram bijna honderd meter spoor nodig.

Dezelfde formules werken ook voor remmen, alleen met een negatieve versnelling, als de positieve richting in de rijrichting wijst. Als een auto remt tot hij stilstaat, is de eindsnelheid nul en het verband $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ vertelt hoeveel meter hij nodig heeft om te stoppen. Dat is de remweg, die met de snelheid veel sneller toeneemt dan automobilisten lief is.

Hoeveel meter een auto echt nodig heeft als we bij de remweg ook het moment optellen voordat de bestuurder de rem ook maar intrapt, en waarom een auto met twee keer zo hoge snelheid een vier keer zo lange remweg nodig heeft, rekenen we uit in het volgende artikel, Remmen en remweg.