Ruch jednostajnie przyspieszony

Tramwaj stoi na przystanku, drzwi się zamykają i tramwaj rusza z przyspieszeniem 1 m/s². W każdej sekundzie jedzie o 1 m/s szybciej: po pierwszej sekundzie 1 m/s, po drugiej 2 m/s, po dziesiątej 10 m/s. Ruch po prostej, w którym przyspieszenie pozostaje stałe, nazywamy ruchem prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym. Jednostajnie dlatego, że prędkości przybywa równomiernie, w każdej sekundzie o tyle samo. Idealnie stałego przyspieszenia nie ma żaden tramwaj ani samochód, ale ruszanie na zielonym świetle czy kamień wypuszczony z ręki są mu bardzo bliskie.

Prędkość w dowolnej chwili

Z jaką prędkością jedzie tramwaj po siedmiu sekundach? Pewnie odpowiesz 7 m/s i będziesz mieć rację. Ogólny wzór wyprowadzimy ze wzoru na przyspieszenie $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Stoper włączamy w chwili, gdy zaczynamy obserwować ruch, więc czas Δt to po prostu czas t na stoperze. Zmiana prędkości to v − v₀, gdzie v₀ jest prędkością początkową, którą ciało miało, gdy włączyliśmy stoper. Obie strony mnożymy przez czas i dodajemy prędkość początkową:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Prędkość w chwili t wynosi więc

$$v=v_0+a\cdot t$$

Do wyjściowej prędkości w każdej sekundzie przybywa a, w ciągu t sekund więc a · t. Tramwaj rusza ze spoczynku, v₀ = 0 m/s, i po dziesięciu sekundach jedzie

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Metry na sekundę do kwadratu pomnożone przez sekundy dają metry na sekundę, jednostki się zgadzają. Na kilometry na godzinę przeliczyliśmy, mnożąc przez 3,6.

Wykres prędkości jest prostą

Wzór v = v₀ + a · t wygląda tak samo jak s = s₀ + v · t, wzór na drogę przy stałej prędkości. To funkcja liniowa y = a · x + b, tylko zamiast x jest czas, zamiast y prędkość, współczynnikiem kierunkowym jest przyspieszenie, a b to prędkość początkowa. Wykresem prędkości jest więc prosta.

Czerwona prosta należy do tramwaju, zaczyna się w początku układu i w ciągu sekundy wznosi się o 1 m/s. Niebieska należy do samochodu, który wlecze się za ciągnikiem z prędkością 10 m/s, czyli 36 km/h. Kierowcy kończy się cierpliwość, dodaje gazu i chce wyprzedzić ciągnik. Samochód ma teraz przyspieszenie 2 m/s². Jego wykres zaczyna się na osi pionowej na wysokości v₀ = 10 m/s i wznosi się dwa razy bardziej stromo niż wykres tramwaju. Nachylenie wykresu prędkości to przyspieszenie, tak jak nachylenie wykresu drogi to prędkość.

Droga to pole pod wykresem

Ile metrów samochód przejedzie podczas wyprzedzania? Przy stałej prędkości droga jest ukryta w polu pod wykresem prędkości. Wykres jest tam poziomy, a pole pod nim to prostokąt. Czy ma to sens także przy wykresie, który się wznosi? Czas kroimy na cienkie paski, na przykład po setnej części sekundy. W ciągu setnej sekundy prędkość samochodu zmienia się tylko o 0,02 m/s, więc w każdym pasku samochód jedzie z prawie stałą prędkością i przejeżdża tyle, ile wynosi pole paska, wysokość razy szerokość. Im cieńsze paski, tym dokładniej to zachodzi. Gdy dodamy drogi ze wszystkich pasków, dostaniemy całe pole pod wykresem.

Pod wykresem prędkości jest trapez. Pozioma przerywana linia rozcina go na niebieski prostokąt i czerwony trójkąt. Niebieski prostokąt ma szerokość t i wysokość v₀. Jego pole v₀ · t odpowiada drodze, którą samochód przejechałby, gdyby w ogóle nie przyspieszał.

Czerwony trójkąt to nagroda za przyspieszanie, droga dodatkowa w porównaniu z jazdą z wyjściową prędkością. Jest prostokątny, jedna jego przyprostokątna to czas t, a druga przyrost prędkości Δv = a · t. Taki trójkąt to połowa prostokąta o tych samych bokach, więc jego pole wynosi

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Prostokąt z trójkątem dają razem drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Gdy ciało rusza ze spoczynku, prostokąt znika i zostaje tylko trójkąt, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Tramwaj w dziesięć sekund przejedzie

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Sekundy do kwadratu się skracają i zostają metry.

Nasuwa się prostszy rachunek, s = v · t z prędkością końcową: 10 m/s · 10 s = 100 m. To dwa razy więcej, bo 10 m/s tramwaj jechał dopiero na samym końcu. Na wykresie zamiast trójkąta zmierzylibyśmy cały prostokąt, a ten ma dwa razy większe pole.

Wyprzedzanie ciągnika

Teraz przejdziemy całe wyprzedzanie krok po kroku. Samochód przyspiesza przez pięć sekund. Jak szybko będzie potem jechał i ile metrów w tym czasie przejedzie? Najpierw dane:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Jednostki są podstawowe, a wzory ogólne już mamy. Liczby najpierw wstawiamy do wzoru na prędkość:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

A potem do wzoru na drogę:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Niebieski prostokąt na rysunku ma więc pole 50 m, a czerwony trójkąt 25 m. Czy wynik ma sens? Gdyby samochód jechał cały czas z wyjściową prędkością 10 m/s, przejechałby 50 m, a gdyby jechał cały czas z końcową prędkością 20 m/s, przejechałby 100 m. Wynik leży między tymi dwiema wartościami. Samochód w pięć sekund przyspieszy do 72 km/h i przejedzie 75 m.

Ciągnik w tym czasie jechał dalej z prędkością 10 m/s i przejechał 50 m, tyle co niebieski prostokąt. Samochód nadrobił więc względem ciągnika w pięć sekund 25 m, dokładnie o pole czerwonego trójkąta. Gdyby ciągnik ciągnął długą przyczepę, kierowca musiałby przyspieszać dłużej.

Prędkość średnia jest dokładnie pośrodku

Pole trapezu możemy obliczyć też od razu: połowa sumy podstaw razy wysokość. Podstawami są tu v₀ i v, wysokością jest czas:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Drogę potrafimy jednak zapisać także jako prędkość średnią razy czas, s = v_śr · t. Dlatego w ruchu jednostajnie przyspieszonym zachodzi

$$v_{\mathrm{ś}\mathrm{r}}=\frac{v_0+v}{2}.$$

Prędkość średnia leży dokładnie pośrodku między początkową a końcową. W przypadku samochodu to 15 m/s, a 15 m/s · 5 s to znowu 75 m. Działa to tylko dlatego, że wykres prędkości jest prostą. W innych sytuacjach prędkość średnia nie musi leżeć pośrodku, na przykład w podróży tam 60, z powrotem 40.

Odstępy 1 : 3 : 5 : 7

Gdy ruszający samochód zostawia co sekundę znak, odstępy rosną w stosunku 1:3:5:7:9. Na wykresie prędkości zobaczymy to na pierwszy rzut oka.

Pole pod wykresem tramwaju pokroiliśmy na sekundowe paski, na przemian czerwone i niebieskie. Pole każdego paska to droga, którą tramwaj przejechał w tej sekundzie. Białe linie dzielą pole na jednakowe trójkąciki, każdy jest połową kwadracika 1 s na 1 m/s. W pierwszym pasku jest jeden trójkącik, w drugim trzy, w trzecim pięć, a w czwartym siedem. Każdy kolejny pasek jest o kwadracik wyższy i dlatego przybywają w nim dwa trójkąciki. Drogi w kolejnych sekundach, a z nimi także odstępy między znakami, są w stosunku 1:3:5:7.

Gdy paski dodajemy, dostajemy drogę od startu: po jednej sekundzie jeden trójkącik, po dwóch 1 + 3 = 4, po trzech 1 + 3 + 5 = 9, po czterech 16. Za każdym razem wychodzi kwadrat liczby sekund, dokładnie według wzoru $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Inne przyspieszenie sprawiłoby, że wykres byłby bardziej stromy albo bardziej płaski, ale liczby trójkącików zostałyby takie same.

Wykres drogi jest parabolą

Zapiszmy drogi tramwaju $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ po pełnych sekundach. W jedną sekundę przejeżdża 0,5 m, w dwie 2 m, w trzy 4,5 m, w cztery 8 m, a w dziesięć 50 m. Dwa razy dłuższy czas daje cztery razy dłuższą drogę, trzy razy dłuższy czas dziewięć razy dłuższą, bo czas we wzorze jest podniesiony do kwadratu.

Punkty nie leżą już na prostej, tylko na zakrzywionej linii zwanej parabolą. Dlaczego wygina się w górę? Nachylenie wykresu drogi to prędkość, a ta w przypadku tramwaju nieustannie rośnie. Na początku tramwaj stoi i wykres jest poziomy, potem staje się coraz bardziej stromy. Szara przerywana prosta to wykres ruchu ze stałą prędkością równą prędkości średniej, 5 m/s, który po dziesięciu sekundach kończy się w tym samym punkcie. Tramwaj najpierw zostaje w tyle, a pod koniec odrabia stratę.

Matematyk powie, że droga jest funkcją kwadratową czasu, bo występuje w niej czas do kwadratu. Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola, także w przypadku samochodu, który nie rusza ze spoczynku. Jego wykres $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ nie zaczyna się jednak poziomo. Samochód już na początku jedzie 10 m/s, więc wykres wychodzi z początku układu od razu z nachyleniem 10 m/s, a potem wznosi się coraz bardziej stromo. Więcej o paraboli znajdziesz przy funkcji kwadratowej.

Prędkość bez czasu

Tramwaj rozpędza się do 50 km/h w mniej więcej czternaście sekund. Ile metrów przy tym przejeżdża? Dałoby się to obliczyć przez czas, ale można też bez niego: istnieje wzór, w którym czas w ogóle nie występuje. Ze wzoru v = v₀ + a · t wyznaczamy czas, $t=\frac{v-v_0}{a}$, i wstawiamy go do wzoru z prędkością średnią:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

W liczniku wymnażamy nawiasy, a środkowe wyrazy się redukują:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Mamy więc $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Obie strony mnożymy przez 2 · a i dodajemy $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Sprawdźmy go na samochodzie: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², a to rzeczywiście (20 m/s)².

Tramwaj rusza ze spoczynku, więc v² = 2 · a · s, a droga wynosi $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Prędkości nie będziemy zaokrąglać, wstawimy ją do wzoru jako ułamek:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Na rozpędzenie się do pięćdziesiątki tramwaj potrzebuje prawie stu metrów torów.

Te same wzory działają także przy hamowaniu, tylko z ujemnym przyspieszeniem, gdy dodatni zwrot jest zgodny z kierunkiem jazdy. Gdy samochód hamuje aż do zatrzymania, prędkość końcowa jest zerowa, a związek $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ powie, ilu metrów potrzebuje, żeby się zatrzymać. To droga hamowania, która rośnie z prędkością dużo szybciej, niż podobałoby się kierowcom.

Ilu metrów samochód potrzebuje naprawdę, gdy do drogi hamowania doliczymy też chwilę, zanim kierowca w ogóle wciśnie hamulec, i dlaczego samochód jadący z dwa razy większą prędkością potrzebuje cztery razy dłuższej drogi hamowania, policzymy w kolejnym artykule, Hamowanie i droga hamowania.