Likformigt accelererad rörelse

En spårvagn står vid hållplatsen, dörrarna stängs och spårvagnen sätter i gång med accelerationen 1 m/s². Varje sekund åker den 1 m/s fortare: efter första sekunden 1 m/s, efter andra 2 m/s, efter tionde 10 m/s. En rörelse längs en rät linje där accelerationen hela tiden är konstant kallar vi likformigt accelererad rätlinjig rörelse. Likformigt för att hastigheten ökar likformigt, lika mycket varje sekund. Ingen spårvagn och ingen bil har helt konstant acceleration, men en start när det blir grönt eller en sten som släpps från handen ligger mycket nära.

Hastigheten vid en godtycklig tidpunkt

Hur fort åker spårvagnen efter sju sekunder? Du svarar säkert 7 m/s, och det stämmer. Den allmänna formeln härleder vi ur formeln för acceleration, $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Vi startar stoppuret i samma ögonblick som vi börjar följa rörelsen, så tidsintervallet Δt är helt enkelt tiden t på stoppuret. Hastighetsändringen är v − v₀, där v₀ är begynnelsehastigheten, den hastighet som kroppen hade när vi startade stoppuret. Vi multiplicerar båda sidor med tiden och lägger till begynnelsehastigheten:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Hastigheten vid tiden t är alltså

$$v=v_0+a\cdot t$$

Till den ursprungliga hastigheten läggs a varje sekund, på t sekunder alltså a · t. Spårvagnen startar från vila, v₀ = 0 m/s, och efter tio sekunder är hastigheten

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Meter per sekund i kvadrat multiplicerat med sekunder ger meter per sekund, så enheterna stämmer. Till kilometer per timme räknade vi om genom att multiplicera med 3,6.

Hastighetsgrafen är en rät linje

Formeln v = v₀ + a · t ser likadan ut som s = s₀ + v · t, formeln för sträckan vid konstant hastighet. Det är en linjär funktion y = k · x + m, bara med tiden i stället för x och hastigheten i stället för y. Riktningskoefficienten är accelerationen och m är begynnelsehastigheten. Hastighetsgrafen är därför en rät linje.

Den röda linjen hör till spårvagnen. Den börjar i origo och stiger 1 m/s per sekund. Den blå hör till en bil som släpar efter en traktor med hastigheten 10 m/s, alltså 36 km/h. Föraren tappar tålamodet, ger gas och vill köra om traktorn. Bilen har nu accelerationen 2 m/s². Dess graf börjar på den lodräta axeln på höjden v₀ = 10 m/s och stiger dubbelt så brant som spårvagnens. Hastighetsgrafens lutning är accelerationen, precis som sträckgrafens lutning är hastigheten.

Sträckan är arean under grafen

Hur många meter hinner bilen köra under omkörningen? Vid konstant hastighet finns sträckan gömd i arean under hastighetsgrafen. Grafen är där vågrät och arean under den en rektangel. Gäller det även för en graf som stiger? Vi delar upp tiden i smala remsor, till exempel hundradels sekunder. På en hundradels sekund ändras bilens hastighet med bara 0,02 m/s, så i varje remsa kör bilen med nästan konstant hastighet och hinner lika långt som remsans area, höjd gånger bredd. Ju smalare remsor, desto exaktare stämmer det. När vi lägger ihop sträckorna från alla remsor får vi hela arean under grafen.

Under hastighetsgrafen finns ett parallelltrapets. Den streckade vågräta linjen delar det i en blå rektangel och en röd triangel. Den blå rektangeln har bredden t och höjden v₀. Dess area v₀ · t motsvarar den sträcka som bilen skulle köra om den inte accelererade alls.

Den röda triangeln är belöningen för att bilen accelererar, den extra sträckan jämfört med att köra med den ursprungliga hastigheten. Den är rätvinklig, den ena kateten är tiden t och den andra hastighetsökningen Δv = a · t. En sådan triangel är hälften av en rektangel med samma sidor, så dess area är

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Rektangeln och triangeln ger tillsammans sträckan vid likformigt accelererad rörelse:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

När kroppen startar från vila försvinner rektangeln och kvar blir bara triangeln, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Spårvagnen hinner på tio sekunder

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Sekunderna i kvadrat förkortas bort och kvar blir meter.

Det ligger nära till hands att räkna enklare, s = v · t med sluthastigheten: 10 m/s · 10 s = 100 m. Det är dubbelt så mycket, eftersom spårvagnen åkte 10 m/s först allra sist. I grafen skulle vi i stället för triangeln mäta hela rektangeln, och den har dubbelt så stor area.

Omkörning av traktorn

Nu går vi igenom hela omkörningen steg för steg. Bilen accelererar i fem sekunder. Hur fort åker den sedan, och hur många meter hinner den under tiden? Först givna värden:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Enheterna är grundenheter och de allmänna formlerna har vi redan. Först sätter vi in talen i formeln för hastighet:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Sedan i formeln för sträcka:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Den blå rektangeln i figuren har alltså arean 50 m och den röda triangeln 25 m. Är resultatet rimligt? Om bilen hade åkt hela tiden med den ursprungliga hastigheten 10 m/s hade den hunnit 50 m, och med sluthastigheten 20 m/s hela tiden hade den hunnit 100 m. Resultatet ligger mellan de två värdena. På fem sekunder accelererar bilen till 72 km/h och kör 75 m.

Traktorn fortsatte under tiden med hastigheten 10 m/s och körde 50 m, precis som den blå rektangeln. Bilen vann alltså 25 m på traktorn på fem sekunder, just arean av den röda triangeln. Hade traktorn dragit en lång släpvagn hade föraren behövt accelerera längre.

Medelhastigheten ligger mitt emellan

Arean av ett parallelltrapets kan vi räkna ut på en gång: medelvärdet av de två parallella sidorna gånger höjden. De parallella sidorna är här v₀ och v, höjden är tiden:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Sträckan kan vi också skriva som medelhastigheten gånger tiden, s = v_m · t. Därför gäller vid likformigt accelererad rörelse

$$v_m=\frac{v_0+v}{2}.$$

Medelhastigheten ligger precis mitt emellan begynnelsehastigheten och sluthastigheten. För bilen är den 15 m/s, och 15 m/s · 5 s är återigen 75 m. Det fungerar bara för att hastighetsgrafen är en rät linje. I andra fall behöver medelhastigheten inte ligga mitt emellan, till exempel vid en resa dit 60, tillbaka 40.

Avstånden 1 : 3 : 5 : 7

Om en bil som sätter i gång lämnar ett märke varje sekund växer avstånden mellan märkena i förhållandet 1:3:5:7:9. I hastighetsgrafen ser vi det direkt.

Arean under spårvagnens graf har vi delat upp i sekundremsor, växelvis röda och blå. Varje remsas area är den sträcka som spårvagnen hann under just den sekunden. De vita linjerna delar arean i lika stora små trianglar, var och en hälften av en liten ruta på 1 s gånger 1 m/s. I första remsan finns en liten triangel, i andra tre, i tredje fem och i fjärde sju. Varje ny remsa är en ruta högre, och därför tillkommer två trianglar. Sträckorna under de enskilda sekunderna, och med dem avstånden mellan märkena, förhåller sig som 1:3:5:7.

När vi lägger ihop remsorna får vi sträckan från starten: efter en sekund en liten triangel, efter två 1 + 3 = 4, efter tre 1 + 3 + 5 = 9, efter fyra 16. Varje gång blir det antalet sekunder i kvadrat, precis enligt formeln $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. En annan acceleration skulle göra grafen brantare eller flackare, men antalet trianglar skulle vara detsamma.

Sträckgrafen är en parabel

Vi skriver upp spårvagnens sträckor $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ för hela sekunder. På en sekund kör den 0,5 m, på två 2 m, på tre 4,5 m, på fyra 8 m och på tio 50 m. Dubbelt så lång tid ger fyra gånger så lång sträcka, tre gånger så lång tid nio gånger så lång sträcka, eftersom tiden i formeln är upphöjd till två.

Punkterna ligger inte längre på en rät linje utan på en krökt kurva som kallas parabel. Varför kröker den sig uppåt? Sträckgrafens lutning är hastigheten, och den ökar hela tiden för spårvagnen. I början står spårvagnen still och grafen är vågrät, sedan blir den allt brantare. Den grå streckade linjen är grafen för en rörelse med konstant medelhastighet 5 m/s, som efter tio sekunder hamnar i samma punkt. Spårvagnen ligger först efter men knappar in mot slutet.

En matematiker säger att sträckan är en andragradsfunktion av tiden, eftersom tiden förekommer i kvadrat. Grafen till varje andragradsfunktion är en parabel, även för bilen som inte startar från vila. Dess graf $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ börjar dock inte vågrätt. Bilen kör redan från början 10 m/s, så grafen utgår från origo med lutningen 10 m/s och stiger sedan allt brantare. Mer om parabeln hittar du under andragradsfunktion.

Hastighet utan tid

Spårvagnen accelererar till 50 km/h på ungefär fjorton sekunder. Hur många meter hinner den under tiden? Man skulle kunna räkna via tiden, men det går också utan den: det finns en formel där tiden inte förekommer alls. Ur formeln v = v₀ + a · t löser vi ut tiden, $t=\frac{v-v_0}{a}$, och sätter in den i formeln med medelhastighet:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

I täljaren multiplicerar vi ihop parenteserna och de mittersta termerna tar ut varandra:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Vi har alltså $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Vi multiplicerar båda sidor med 2 · a och lägger till $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Vi kontrollerar den på bilen: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², och det är verkligen (20 m/s)².

Spårvagnen startar från vila, så v² = 2 · a · s och sträckan är $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Hastigheten avrundar vi inte, vi sätter in den som ett bråk:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

För att komma upp i femtio kilometer i timmen behöver spårvagnen nästan hundra meter spår.

Samma formler fungerar också vid inbromsning, bara med negativ acceleration när den positiva riktningen är färdriktningen. Om bilen bromsar till stillastående är sluthastigheten noll, och sambandet $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ säger hur många meter den behöver för att stanna. Det är bromssträckan, som växer med hastigheten mycket snabbare än vad förarna skulle vilja.

Hur många meter bilen verkligen behöver när vi också räknar med stunden innan föraren över huvud taget trampar på bromsen, och varför en bil med dubbel hastighet behöver fyra gånger så lång bromssträcka, räknar vi ut i nästa artikel, Inbromsning och bromssträcka.