Rovnoměrně zrychlený pohyb

Tramvaj stojí na zastávce, zavřou se dveře a tramvaj se rozjede se zrychlením 1 m/s². Každou sekundu jede o 1 m/s rychleji: po první sekundě 1 m/s, po druhé 2 m/s, po desáté 10 m/s. Pohyb po přímce, při němž zůstává zrychlení stálé, označujeme jako rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb. Rovnoměrně proto, že rychlost přibývá rovnoměrně, za každou sekundu o stejný kus. Dokonale stálé zrychlení nemá žádná tramvaj ani auto, ale rozjezd na zelenou nebo kámen puštěný z ruky mu jsou velmi blízko.

Rychlost v libovolném okamžiku

Kolik jede tramvaj po sedmi sekundách? Nejspíš odpovíte 7 m/s a máte pravdu. Obecný vzorec odvodíme ze vzorce pro zrychlení $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Stopky zapneme ve chvíli, kdy začínáme pohyb sledovat, takže doba Δt je prostě čas t na stopkách. Změna rychlosti je v − v₀, kde v₀ je počáteční rychlost, kterou těleso mělo, když jsme stopky spustili. Obě strany vynásobíme časem a přičteme počáteční rychlost:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Rychlost v čase t je tedy

$$v=v_0+a\cdot t$$

K původní rychlosti přibude každou sekundu a, za t sekund tedy a · t. Tramvaj vyjíždí z klidu, v₀ = 0 m/s, a po deseti sekundách jede

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Metry za sekundu na druhou vynásobené sekundami dají metry za sekundu, jednotky souhlasí. Na kilometry za hodinu jsme převedli násobením číslem 3,6.

Graf rychlosti je přímka

Vzorec v = v₀ + a · t vypadá stejně jako s = s₀ + v · t, vzorec pro dráhu při stálé rychlosti. Je to lineární funkce y = a · x + b, jen místo x je čas, místo y rychlost, směrnicí je zrychlení a b je počáteční rychlost. Grafem rychlosti je proto přímka.

Červená přímka patří tramvaji, začíná v počátku a za sekundu stoupne o 1 m/s. Modrá patří autu, které se loudá za traktorem rychlostí 10 m/s, tedy 36 km/h. Řidiči dojde trpělivost, přidá plyn a chce traktor předjet. Auto teď má zrychlení 2 m/s². Jeho graf začíná na svislé ose ve výšce v₀ = 10 m/s a stoupá dvakrát strměji než graf tramvaje. Strmost grafu rychlosti je zrychlení, tak jako strmost grafu dráhy je rychlost.

Dráha je plocha pod grafem

Kolik metrů auto při předjíždění ujede? Při stálé rychlosti je dráha schovaná v ploše pod grafem rychlosti. Graf je tam vodorovný a plocha pod ním obdélník. Má to smysl i u grafu, který stoupá? Čas nakrájíme na tenké proužky, třeba po setině sekundy. Za setinu sekundy se rychlost auta změní jen o 0,02 m/s, takže v každém proužku jede auto skoro stálou rychlostí a ujede tolik, kolik je obsah proužku, výška krát šířka. Čím tenčí proužky, tím přesněji to platí. Když dráhy ze všech proužků sečteme, dostaneme celou plochu pod grafem.

Pod grafem rychlosti je lichoběžník. Vodorovná čárkovaná čára ho rozřízne na modrý obdélník a červený trojúhelník. Modrý obdélník je široký t a vysoký v₀. Jeho obsah v₀ · t odpovídá dráze, kterou by auto ujelo, kdyby nezrychlovalo vůbec.

Červený trojúhelník je odměna za zrychlování, dráha navíc oproti jízdě původní rychlostí. Je pravoúhlý, jedna jeho odvěsna je čas t a druhá přírůstek rychlosti Δv = a · t. Takový trojúhelník je polovina obdélníku se stejnými stranami, takže jeho obsah je

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Obdélník s trojúhelníkem dají dohromady dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Když těleso vyjíždí z klidu, obdélník zmizí a zbude jen trojúhelník, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Tramvaj za deset sekund ujede

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Sekundy na druhou se vykrátí a zbudou metry.

Nabízí se jednodušší výpočet, s = v · t s konečnou rychlostí: 10 m/s · 10 s = 100 m. To je dvakrát víc, protože 10 m/s jela tramvaj až na samém konci. V grafu bychom místo trojúhelníku změřili celý obdélník, a ten má plochu dvojnásobnou.

Předjíždění traktoru

Teď si celé předjíždění projdeme po jednotlivých krocích. Auto zrychluje pět sekund. Jak rychle pak pojede a kolik metrů mezitím ujede? Nejdřív zadání:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Jednotky jsou základní a obecné vzorce už máme. Čísla nejdřív doplníme do vzorce pro rychlost:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

A do vzorce pro dráhu:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Modrý obdélník na obrázku má tedy obsah 50 m a červený trojúhelník 25 m. Dává výsledek smysl? Kdyby auto jelo celou dobu původních 10 m/s, ujelo by 50 m, kdyby jelo celou dobu konečných 20 m/s, ujelo by 100 m. Výsledek leží mezi těmito dvěma hodnotami. Auto za pět sekund zrychlí na 72 km/h a ujede 75 m.

Traktor zatím pokračoval rychlostí 10 m/s a ujel 50 m, stejně jako modrý obdélník. Auto tak za pět sekund traktoru ujelo o 25 m, právě o obsah červeného trojúhelníku. Kdyby traktor táhl dlouhý vlek, musel by řidič přidávat déle.

Průměrná rychlost je přesně uprostřed

Obsah lichoběžníku zvládneme spočítat i najednou: průměr obou rovnoběžných stran krát výška. Rovnoběžné strany jsou tu v₀ a v, výška je čas:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Dráhu ale umíme zapsat i jako průměrnou rychlost krát čas, s = v_p · t. Proto u rovnoměrně zrychleného pohybu platí

$$v_p=\frac{v_0+v}{2}.$$

Průměrná rychlost leží přesně uprostřed mezi počáteční a konečnou. U auta je to 15 m/s a 15 m/s · 5 s je zase 75 m. Funguje to jen proto, že graf rychlosti je přímka. Jinde průměrná rychlost uprostřed ležet nemusí, třeba u cesty tam 60, zpátky 40.

Rozestupy 1 : 3 : 5 : 7

Když rozjíždějící se auto nechává každou sekundu značku, rostou rozestupy v poměru 1:3:5:7:9. V grafu rychlosti to uvidíme na první pohled.

Plochu pod grafem tramvaje jsme nakrájeli na sekundové proužky, střídavě červené a modré. Obsah každého proužku je dráha, kterou tramvaj ujela během té sekundy. Bílé čáry dělí plochu na stejné trojúhelníčky, každý je polovina čtverečku 1 s krát 1 m/s. V prvním proužku je jeden trojúhelníček, ve druhém tři, ve třetím pět a ve čtvrtém sedm. Každý další proužek je o čtvereček vyšší, a proto v něm přibudou dva trojúhelníčky. Dráhy za jednotlivé sekundy, a s nimi i rozestupy značek, jsou v poměru 1:3:5:7.

Když proužky sčítáme, dostaneme dráhu od startu: po jedné sekundě jeden trojúhelníček, po dvou 1 + 3 = 4, po třech 1 + 3 + 5 = 9, po čtyřech 16. Pokaždé vyjde druhá mocnina počtu sekund, přesně podle vzorce $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Jiné zrychlení by graf zestrmilo nebo zploštilo, počty trojúhelníčků by ale zůstaly stejné.

Graf dráhy je parabola

Zapíšeme dráhy tramvaje $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ po celých sekundách. Za jednu sekundu ujede 0,5 m, za dvě 2 m, za tři 4,5 m, za čtyři 8 m a za deset 50 m. Dvakrát delší čas dá čtyřikrát delší dráhu, třikrát delší čas devětkrát delší, protože se čas ve vzorci umocňuje na druhou.

Body už neleží na přímce, ale na zakřivené čáře zvané parabola. Proč se ohýbá nahoru? Strmost grafu dráhy je rychlost, a ta u tramvaje neustále roste. Na začátku tramvaj stojí a graf je vodorovný, pak je čím dál strmější. Šedá čárkovaná přímka je graf pohybu stálou průměrnou rychlostí 5 m/s, který za deset sekund skončí ve stejném bodě. Tramvaj nejdřív zaostává, ke konci svou ztrátu dohání.

Matematik řekne, že dráha je kvadratickou funkcí času, protože v ní vystupuje čas na druhou. Grafem každé kvadratické funkce je parabola, i u auta, které nevyjíždí z klidu. Jeho graf $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ ale nezačíná vodorovně. Auto už na začátku jede 10 m/s, a tak graf vychází z počátku rovnou se strmostí 10 m/s a pak se zvedá čím dál příkřeji. Víc o parabole najdete u kvadratické funkce.

Rychlost bez času

Tramvaj se na 50 km/h rozjede asi za čtrnáct sekund. Kolik metrů přitom ujede? Dalo by se to spočítat přes čas, ale jde to i bez něj: existuje vzorec, v němž čas vůbec nevystupuje. Ze vzorce v = v₀ + a · t vyjádříme čas, $t=\frac{v-v_0}{a}$, a vložíme ho do vzorce s průměrnou rychlostí:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

V čitateli závorky roznásobíme a prostřední členy se navzájem zruší:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Máme tedy $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Obě strany vynásobíme 2 · a a přičteme $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Ověříme ho na autě: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², a to je opravdu (20 m/s)².

Tramvaj vyjíždí z klidu, takže v² = 2 · a · s a dráha je $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Rychlost zaokrouhlovat nebudeme, vložíme ji do vzorce jako zlomek:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \doteq 96\mathrm{m}\end{array}$$

Na padesátku si tramvaj vezme skoro sto metrů koleje.

Stejné vzorce fungují i pro brzdění, jen se záporným zrychlením, když kladný směr míří ve směru jízdy. Brzdí-li auto až do zastavení, je konečná rychlost nulová a vztah $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ řekne, kolik metrů potřebuje, aby zastavilo. To je brzdná dráha, která s rychlostí roste mnohem rychleji, než by se řidičům líbilo.

Kolik metrů auto potřebuje doopravdy, když k brzdné dráze připočteme i chvíli, než řidič vůbec sešlápne brzdu, a proč auto z dvojnásobné rychlosti potřebuje čtyřikrát delší brzdnou dráhu, spočítáme v dalším článku, Brzdění a brzdná dráha.