Egyenletesen gyorsuló mozgás

A villamos a megállóban áll, becsukódnak az ajtók, és a villamos 1 m/s² gyorsulással elindul. Minden másodpercben 1 m/s értékkel megy gyorsabban: az első másodperc után 1 m/s sebességgel, a második után 2 m/s sebességgel, a tizedik után 10 m/s sebességgel. Az olyan egyenes vonalú mozgást, amelynél a gyorsulás állandó, egyenletesen gyorsuló egyenes vonalú mozgásnak nevezzük. Egyenletesen azért, mert a sebesség egyenletesen nő, minden másodpercben ugyanannyival. Tökéletesen állandó gyorsulása egyetlen villamosnak vagy autónak sincs, de a zöldre induló jármű vagy a kézből elengedett kő nagyon közel jár hozzá.

A sebesség bármely pillanatban

Milyen gyorsan megy a villamos hét másodperc után? Valószínűleg azt mondod, hogy 7 m/s sebességgel, és igazad van. Az általános képletet a gyorsulás $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ képletéből vezetjük le. A stoppert abban a pillanatban indítjuk el, amikor a mozgást kezdjük figyelni, így a Δt idő egyszerűen a stopperen mért t idő. A sebességváltozás v − v₀, ahol v₀ a kezdősebesség, amellyel a test a stopper elindításakor haladt. Mindkét oldalt megszorozzuk az idővel, és hozzáadjuk a kezdősebességet:

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{v - v_{0}}{t} / \cdot t \\ a \cdot t & = & v - v_{0} / + v_{0} \\ v_{0} + a \cdot t & = & v \end{array}$

A sebesség a t időpontban tehát

$v = v_{0} + a \cdot t$

Az eredeti sebességhez minden másodpercben hozzájön a, t másodperc alatt tehát a · t. A villamos nyugalomból indul, v₀ = 0 m/s, és tíz másodperc után a sebessége

$v = 1 {m / s}^{2} \cdot 10 s = 10 m / s = 36 km / h .$

A méter per másodpercnégyzetet másodperccel megszorozva méter per másodpercet kapunk, a mértékegységek egyeznek. Kilométer per órára a 3,6 számmal való szorzással váltottunk át.

A sebesség grafikonja egyenes

A v = v₀ + a · t képlet ugyanúgy néz ki, mint az s = s₀ + v · t, az állandó sebességű mozgás útjának képlete. Ez egy lineáris függvény, y = m · x + b, csak x helyett az idő áll benne, y helyett a sebesség, a meredekség a gyorsulás, b pedig a kezdősebesség. A sebesség grafikonja ezért egyenes.

Az álló helyzetből induló villamos sebességének grafikonja (pirossal) és az olyan autóé, amelynek az elején v_0 a sebessége, és nagyobb a gyorsulása (kékkel)

A piros egyenes a villamoshoz tartozik, az origóból indul, és másodpercenként 1 m/s értékkel emelkedik. A kék egy autóé, amely egy traktor mögött vánszorog 10 m/s, azaz 36 km/h sebességgel. A sofőrnek elfogy a türelme, ráad a gázra, és meg akarja előzni a traktort. Az autó gyorsulása most 2 m/s². A grafikonja a függőleges tengelyen a v₀ = 10 m/s magasságból indul, és kétszer olyan meredeken emelkedik, mint a villamosé. A sebesség grafikonjának meredeksége a gyorsulás, ahogy az út grafikonjának meredeksége a sebesség.

Az út a grafikon alatti terület

Hány métert tesz meg az autó az előzés közben? Állandó sebességnél az út a sebesség grafikonja alatti területben rejlik. A grafikon ott vízszintes, és alatta egy téglalap van. Van értelme ennek az emelkedő grafikonnál is? Az időt vékony csíkokra vágjuk, mondjuk századmásodperces csíkokra. Egy századmásodperc alatt az autó sebessége csak 0,02 m/s értékkel változik, így minden csíkban az autó majdnem állandó sebességgel megy, és annyit tesz meg, amennyi a csík területe, magasság szorozva szélességgel. Minél vékonyabbak a csíkok, annál pontosabban igaz ez. Ha az összes csík útját összeadjuk, megkapjuk a grafikon alatti egész területet.

Az autó sebességének grafikonja alatti terület egy trapéz, amely téglalapra (kékkel) és háromszögre (pirossal) bomlik. Balra a v_0 kezdősebesség, jobbra a Δv sebességnövekedés

A sebesség grafikonja alatt egy trapéz van. A vízszintes szaggatott vonal egy kék téglalapra és egy piros háromszögre vágja. A kék téglalap t széles és v₀ magas. A területe, v₀ · t, annak az útnak felel meg, amelyet az autó akkor tenne meg, ha egyáltalán nem gyorsulna.

A piros háromszög a gyorsítás jutalma: ennyivel több utat tesz meg az autó, mintha az eredeti sebességgel haladna. Derékszögű, az egyik befogója a t idő, a másik a Δv = a · t sebességnövekedés. Az ilyen háromszög az ugyanolyan oldalú téglalap fele, így a területe

$\frac{1}{2} \cdot t \cdot a \cdot t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} .$

A téglalap és a háromszög együtt adja az egyenletesen gyorsuló mozgás útját:

$s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$

Ha a test nyugalomból indul, a téglalap eltűnik, és csak a háromszög marad, $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ . A villamos tíz másodperc alatt ennyi utat tesz meg:

$s = \frac{1}{2} \cdot 1 {m / s}^{2} \cdot (10 s)^{2} = 50 m .$

A másodpercnégyzetek egyszerűsödnek, és méter marad.

Kínálkozik egy egyszerűbb számítás, az s = v · t a végső sebességgel: 10 m/s · 10 s = 100 m. Ez kétszer annyi, mert a villamos csak a legvégén ment 10 m/s sebességgel. A grafikonon a háromszög helyett a teljes téglalapot mérnénk le, annak pedig kétszer akkora a területe.

A traktor megelőzése

Most lépésről lépésre végigmegyünk az egész előzésen. Az autó öt másodpercig gyorsul. Milyen gyorsan megy utána, és hány métert tesz meg közben? Először az adatok:

$\begin{aligned} v_{0} & = 10 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ t & = 5 s \\ v & = ?, s = ? \end{aligned}$

Minden mennyiség alapegységben van, az általános képletek pedig már megvannak. A számokat először a sebesség képletébe írjuk:

$v = 10 m / s + 2 {m / s}^{2} \cdot 5 s = 20 m / s = 72 km / h$

Aztán az út képletébe:

$\begin{aligned} s & = 10 m / s \cdot 5 s + \frac{1}{2} \cdot 2 {m / s}^{2} \cdot (5 s)^{2} \\ = 50 m + 25 m = 75 m \end{aligned}$

Az ábrán a kék téglalap területe tehát 50 m, a piros háromszögé 25 m. Van értelme az eredménynek? Ha az autó végig az eredeti 10 m/s sebességgel menne, 50 m utat tenne meg, ha végig a végső 20 m/s sebességgel, akkor 100 m utat. Az eredmény e két érték között van. Az autó öt másodperc alatt 72 km/h sebességre gyorsul, és 75 m utat tesz meg.

A traktor közben 10 m/s sebességgel haladt tovább, és 50 m utat tett meg, éppen annyit, mint a kék téglalap. Az autó így öt másodperc alatt 25 m távolságot nyert a traktorral szemben, éppen a piros háromszög területét. Ha a traktor hosszú pótkocsit húzna, a sofőrnek tovább kellene gyorsítania.

Az átlagsebesség pontosan középen van

A trapéz területét egyben is ki tudjuk számolni: a két párhuzamos oldal átlaga szorozva a magassággal. A párhuzamos oldalak itt a v₀ és a v, a magasság az idő:

$s = \frac{v_{0} + v}{2} \cdot t$

Az utat azonban felírhatjuk átlagsebesség szorozva idővel is, s = v_átl · t. Ezért az egyenletesen gyorsuló mozgásnál

$v_{á tl} = \frac{v_{0} + v}{2} .$

Az átlagsebesség pontosan a kezdő- és a végsebesség között van félúton. Az autónál ez 15 m/s, és 15 m/s · 5 s megint 75 m. Ez csak azért működik, mert a sebesség grafikonja egyenes. Máshol az átlagsebességnek nem kell középen lennie, például az oda 60, vissza 40 útnál.

Az 1 : 3 : 5 : 7 távolságok

Ha az elinduló autó minden másodpercben jelet hagy maga után, a jelek távolsága 1:3:5:7:9 arányban nő. A sebesség grafikonján ez első pillantásra látszik.

A villamos sebességének grafikonja alatti háromszög négy másodpercig, másodperces csíkokra és egyforma háromszögecskékre osztva: a csíkokban sorban 1, 3, 5 és 7 van belőlük

A villamos grafikonja alatti területet másodperces csíkokra vágtuk, felváltva pirosakra és kékekre. Minden csík területe az az út, amelyet a villamos az adott másodperc alatt megtett. A fehér vonalak a területet egyforma háromszögecskékre osztják, mindegyik egy 1 s széles és 1 m/s magas négyzet fele. Az első csíkban egy háromszögecske van, a másodikban három, a harmadikban öt, a negyedikben hét. Minden további csík egy négyzettel magasabb, ezért két háromszögecskével több van benne. Az egyes másodpercek útjai, és velük a jelek távolságai, 1:3:5:7 arányban állnak.

Ha a csíkokat összeadjuk, megkapjuk a rajttól megtett utat: egy másodperc után egy háromszögecske, két másodperc után 1 + 3 = 4 darab, három után 1 + 3 + 5 = 9 darab, négy után 16 darab jön ki. Mindig a másodpercek számának négyzete jön ki, éppen az $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ képlet szerint. Más gyorsulás meredekebbé vagy laposabbá tenné a grafikont, de a háromszögecskék száma ugyanennyi maradna.

Az út grafikonja parabola

Felírjuk a villamos útját az $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ képlettel egész másodpercekre. Egy másodperc alatt 0,5 m utat tesz meg, kettő alatt 2 m utat, három alatt 4,5 m utat, négy alatt 8 m utat, tíz alatt 50 m utat. Kétszer akkora időhöz négyszer akkora út tartozik, háromszor akkora időhöz kilencszer akkora, mert a képletben az idő négyzetre van emelve.

A villamos útjának grafikonja parabola (pirossal), a narancssárga pontok egész másodpercekhez tartoznak. A szürke szaggatott egyenes az állandó átlagsebességű mozgáshoz tartozik

A pontok már nem egyenesen vannak, hanem egy görbült vonalon, amelyet parabolának hívunk. Miért hajlik felfelé? Az út grafikonjának meredeksége a sebesség, és ez a villamosnál folyamatosan nő. Az elején a villamos áll, és a grafikon vízszintes, aztán egyre meredekebb. A szürke szaggatott egyenes az állandó 5 m/s átlagsebességű mozgás grafikonja, amely tíz másodperc alatt ugyanabba a pontba ér. A villamos eleinte lemarad, a vége felé behozza a hátrányát.

A matematikus azt mondja, hogy az út az idő másodfokú függvénye, mert benne az idő négyzete szerepel. Minden másodfokú függvény grafikonja parabola, az olyan autóé is, amely nem nyugalomból indul. Az $s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ grafikonja azonban nem vízszintesen indul. Az autó már az elején 10 m/s sebességgel megy, ezért a grafikon az origóból rögtön 10 m/s meredekséggel indul, aztán egyre meredekebben emelkedik. A parabolákról többet találsz a másodfokú függvénynél.

Sebesség idő nélkül

A villamos körülbelül tizennégy másodperc alatt gyorsul fel 50 km/h sebességre. Hány métert tesz meg közben? Ki lehetne számolni az időn keresztül, de menne anélkül is: van olyan képlet, amelyben az idő egyáltalán nem szerepel. A v = v₀ + a · t képletből kifejezzük az időt, $t = \frac{v - v_{0}}{a}$ , és behelyettesítjük az átlagsebességes képletbe:

$\begin{aligned} s & = \frac{v + v_{0}}{2} \cdot \frac{v - v_{0}}{a} \\ = \frac{(v + v_{0}) \cdot (v - v_{0})}{2 \cdot a} \end{aligned}$

A számlálóban felbontjuk a zárójeleket, és a középső tagok kiejtik egymást:

$\begin{aligned} (v + v_{0}) \cdot (v - v_{0}) & = v^{2} - v \cdot v_{0} + v_{0} \cdot v - v_{0}^{2} \\ = v^{2} - v_{0}^{2} \end{aligned}$

Tehát $s = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 \cdot a}$ . Mindkét oldalt megszorozzuk 2 · a értékkel, és mindkét oldalhoz hozzáadjuk a $v_{0}^{2}$ értéket:

$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot s$

Ellenőrizzük az autón: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², és ez valóban (20 m/s)².

A villamos nyugalomból indul, ezért v² = 2 · a · s, és az út $s = \frac{v^{2}}{2 \cdot a}$ . A sebességet nem kerekítjük, törtként helyettesítjük be a képletbe:

$\begin{aligned} s & = \frac{{(\frac{50}{3, 6} m / s)}^{2}}{2 \cdot 1 {m / s}^{2}} \\ \approx 96 m \end{aligned}$

Az ötvenes sebesség eléréséhez a villamosnak közel száz méter sínre van szüksége.

Ugyanezek a képletek fékezésnél is működnek, csak negatív gyorsulással, ha a pozitív irány a haladás irányába mutat. Ha az autó megállásig fékez, a végsebesség nulla, és a $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot s$ összefüggés megmondja, hány méterre van szüksége a megálláshoz. Ez a fékút, amely a sebességgel sokkal gyorsabban nő, mint ahogy a sofőrök szeretnék.

Hogy az autónak valójában hány méterre van szüksége, ha a fékúthoz hozzáadjuk azt az időt is, amíg a sofőr egyáltalán rálép a fékre, és miért kell a kétszeres sebességről négyszer hosszabb fékút, azt a következő cikkben számoljuk ki, a Fékezés és fékút cikkben.

« Előző: Gyorsulás

Következő: Fékezés és fékút »