Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση

Ένα τραμ στέκεται στη στάση, οι πόρτες κλείνουν και το τραμ ξεκινά με επιτάχυνση 1 m/s². Κάθε δευτερόλεπτο κινείται κατά 1 m/s ταχύτερα: μετά το πρώτο δευτερόλεπτο με 1 m/s, μετά το δεύτερο με 2 m/s, μετά το δέκατο με 10 m/s. Την κίνηση σε ευθεία κατά την οποία η επιτάχυνση παραμένει σταθερή την ονομάζουμε ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Ομαλά, επειδή η ταχύτητα αυξάνεται ομοιόμορφα, κάθε δευτερόλεπτο κατά το ίδιο κομμάτι. Απολύτως σταθερή επιτάχυνση δεν έχει κανένα τραμ ούτε αυτοκίνητο, η εκκίνηση με το πράσινο όμως ή μια πέτρα που αφήνουμε από το χέρι μας πλησιάζουν πολύ σε αυτήν.

Η ταχύτητα σε οποιαδήποτε στιγμή

Πόσο γρήγορα κινείται το τραμ μετά από επτά δευτερόλεπτα; Μάλλον θα απαντήσεις 7 m/s και έχεις δίκιο. Τον γενικό τύπο τον εξάγουμε από τον τύπο της επιτάχυνσης $\alpha =\frac{\mathrm{\Delta }\upsilon }{\mathrm{\Delta }t}$. Ενεργοποιούμε το χρονόμετρο τη στιγμή που αρχίζουμε να παρακολουθούμε την κίνηση, άρα ο χρόνος Δt είναι απλώς ο χρόνος t στο χρονόμετρο. Η μεταβολή της ταχύτητας είναι υ − υ₀, όπου υ₀ είναι η αρχική ταχύτητα που είχε το σώμα όταν ξεκινήσαμε το χρονόμετρο. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον χρόνο και προσθέτουμε την αρχική ταχύτητα:

$$\begin{array}{rcl}\alpha & =& \frac{\upsilon -{\upsilon }_0}{t}/\cdot t\\ \alpha \cdot t& =& \upsilon -{\upsilon }_0/+{\upsilon }_0\\ {\upsilon }_0+\alpha \cdot t& =& \upsilon \end{array}$$

Η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t είναι λοιπόν

$$\upsilon ={\upsilon }_0+\alpha \cdot t$$

Στην αρχική ταχύτητα προστίθεται κάθε δευτερόλεπτο το α, άρα σε t δευτερόλεπτα το α · t. Το τραμ ξεκινά από την ηρεμία, υ₀ = 0 m/s, και μετά από δέκα δευτερόλεπτα κινείται με

$$\upsilon =1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο πολλαπλασιασμένα με δευτερόλεπτα δίνουν μέτρα ανά δευτερόλεπτο, οι μονάδες συμφωνούν. Σε χιλιόμετρα την ώρα μετατρέψαμε πολλαπλασιάζοντας με τον αριθμό 3,6.

Η γραφική παράσταση της ταχύτητας είναι ευθεία

Ο τύπος υ = υ₀ + α · t μοιάζει με τον s = s₀ + υ · t, τον τύπο του διαστήματος με σταθερή ταχύτητα. Είναι γραμμική συνάρτηση y = λ · x + β, μόνο που στη θέση του x βρίσκεται ο χρόνος, στη θέση του y η ταχύτητα, ο συντελεστής διεύθυνσης (η κλίση) είναι η επιτάχυνση και το β είναι η αρχική ταχύτητα. Η γραφική παράσταση της ταχύτητας είναι γι' αυτό ευθεία.

Η κόκκινη ευθεία ανήκει στο τραμ, ξεκινά από την αρχή των αξόνων και σε ένα δευτερόλεπτο ανεβαίνει κατά 1 m/s. Η μπλε ανήκει σε ένα αυτοκίνητο που σέρνεται πίσω από ένα τρακτέρ με ταχύτητα 10 m/s, δηλαδή 36 km/h. Ο οδηγός χάνει την υπομονή του, πατά το γκάζι και θέλει να προσπεράσει το τρακτέρ. Το αυτοκίνητο έχει τώρα επιτάχυνση 2 m/s². Η γραφική του παράσταση ξεκινά στον κατακόρυφο άξονα από ύψος υ₀ = 10 m/s και ανεβαίνει δύο φορές πιο απότομα από τη γραφική παράσταση του τραμ. Η κλίση της γραφικής παράστασης της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση, όπως η κλίση της γραφικής παράστασης του διαστήματος είναι η ταχύτητα.

Το διάστημα είναι το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση

Πόσα μέτρα διανύει το αυτοκίνητο κατά την προσπέραση; Με σταθερή ταχύτητα το διάστημα κρύβεται στο εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση της ταχύτητας. Η γραφική παράσταση εκεί είναι οριζόντια και το εμβαδόν κάτω από αυτήν ένα ορθογώνιο. Έχει νόημα και σε μια γραφική παράσταση που ανεβαίνει; Τεμαχίζουμε τον χρόνο σε λεπτές λωρίδες, για παράδειγμα ανά εκατοστό του δευτερολέπτου. Σε ένα εκατοστό του δευτερολέπτου η ταχύτητα του αυτοκινήτου αλλάζει μόνο κατά 0,02 m/s, άρα σε κάθε λωρίδα το αυτοκίνητο κινείται με σχεδόν σταθερή ταχύτητα και διανύει όσο το εμβαδόν της λωρίδας, ύψος επί πλάτος. Όσο πιο λεπτές οι λωρίδες, τόσο ακριβέστερα ισχύει αυτό. Όταν προσθέσουμε τα διαστήματα από όλες τις λωρίδες, παίρνουμε ολόκληρο το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση.

Κάτω από τη γραφική παράσταση της ταχύτητας βρίσκεται ένα τραπέζιο. Μια οριζόντια διακεκομμένη γραμμή το κόβει σε ένα μπλε ορθογώνιο και ένα κόκκινο τρίγωνο. Το μπλε ορθογώνιο έχει πλάτος t και ύψος υ₀. Το εμβαδόν του υ₀ · t αντιστοιχεί στο διάστημα που θα διένυε το αυτοκίνητο αν δεν επιτάχυνε καθόλου.

Το κόκκινο τρίγωνο είναι η ανταμοιβή για την επιτάχυνση, το επιπλέον διάστημα σε σύγκριση με την κίνηση με την αρχική ταχύτητα. Είναι ορθογώνιο, η μία κάθετη πλευρά του είναι ο χρόνος t και η άλλη η αύξηση της ταχύτητας Δυ = α · t. Ένα τέτοιο τρίγωνο είναι το μισό ενός ορθογωνίου με τις ίδιες πλευρές, άρα το εμβαδόν του είναι

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot \alpha \cdot t=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot t^2.$$

Το ορθογώνιο μαζί με το τρίγωνο δίνουν το διάστημα της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης:

$$s={\upsilon }_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot t^2$$

Όταν το σώμα ξεκινά από την ηρεμία, το ορθογώνιο εξαφανίζεται και μένει μόνο το τρίγωνο, $s=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot t^2$. Το τραμ σε δέκα δευτερόλεπτα διανύει

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Τα δευτερόλεπτα στο τετράγωνο απλοποιούνται και μένουν μέτρα.

Μας έρχεται στο μυαλό ένας απλούστερος υπολογισμός, s = υ · t με την τελική ταχύτητα: 10 m/s · 10 s = 100 m. Αυτό είναι διπλάσιο, επειδή με 10 m/s το τραμ κινήθηκε μόνο στο τέλος ακριβώς. Στη γραφική παράσταση θα μετρούσαμε αντί για το τρίγωνο ολόκληρο το ορθογώνιο, και αυτό έχει διπλάσιο εμβαδόν.

Η προσπέραση του τρακτέρ

Τώρα θα εξετάσουμε ολόκληρη την προσπέραση βήμα βήμα. Το αυτοκίνητο επιταχύνει πέντε δευτερόλεπτα. Πόσο γρήγορα θα κινείται μετά και πόσα μέτρα θα διανύσει στο μεταξύ; Πρώτα τα δεδομένα:

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \alpha & =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ \upsilon & =?,s=?\end{array}$$

Οι μονάδες είναι θεμελιώδεις και τους γενικούς τύπους τους έχουμε ήδη. Τους αριθμούς τους βάζουμε πρώτα στον τύπο της ταχύτητας:

$$\upsilon =10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Και μετά στον τύπο του διαστήματος:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Το μπλε ορθογώνιο του σχήματος έχει λοιπόν εμβαδόν 50 m και το κόκκινο τρίγωνο 25 m. Βγάζει νόημα το αποτέλεσμα; Αν το αυτοκίνητο κινούνταν όλη την ώρα με την αρχική ταχύτητα 10 m/s, θα διένυε 50 m, αν κινούνταν όλη την ώρα με την τελική 20 m/s, θα διένυε 100 m. Το αποτέλεσμα βρίσκεται ανάμεσα σε αυτές τις δύο τιμές. Το αυτοκίνητο σε πέντε δευτερόλεπτα επιταχύνει στα 72 km/h και διανύει 75 m.

Το τρακτέρ στο μεταξύ συνέχισε με ταχύτητα 10 m/s και διήνυσε 50 m, όσο και το μπλε ορθογώνιο. Το αυτοκίνητο λοιπόν σε πέντε δευτερόλεπτα διήνυσε 25 m περισσότερο από το τρακτέρ, ακριβώς το εμβαδόν του κόκκινου τριγώνου. Αν το τρακτέρ έσερνε μακρύ ρυμουλκούμενο, ο οδηγός θα έπρεπε να επιταχύνει για περισσότερο χρόνο.

Η μέση ταχύτητα βρίσκεται ακριβώς στη μέση

Το εμβαδόν του τραπεζίου μπορούμε να το υπολογίσουμε και με μιας: το ημιάθροισμα των δύο παράλληλων πλευρών επί το ύψος. Οι παράλληλες πλευρές εδώ είναι οι υ₀ και υ, το ύψος είναι ο χρόνος:

$$s=\frac{{\upsilon }_0+\upsilon }{2}\cdot t$$

Το διάστημα όμως μπορούμε να το γράψουμε και ως μέση ταχύτητα επί χρόνο, s = υ_μ · t. Γι' αυτό στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ισχύει

$${\upsilon }_{\mu }=\frac{{\upsilon }_0+\upsilon }{2}.$$

Η μέση ταχύτητα βρίσκεται ακριβώς στη μέση ανάμεσα στην αρχική και την τελική. Στο αυτοκίνητο είναι 15 m/s και το 15 m/s · 5 s είναι πάλι 75 m. Λειτουργεί μόνο επειδή η γραφική παράσταση της ταχύτητας είναι ευθεία. Αλλού η μέση ταχύτητα δεν βρίσκεται απαραίτητα στη μέση, για παράδειγμα στη διαδρομή πηγαιμός 60, γυρισμός 40.

Αποστάσεις 1 : 3 : 5 : 7

Όταν ένα αυτοκίνητο που ξεκινά αφήνει κάθε δευτερόλεπτο ένα σημάδι, οι αποστάσεις μεγαλώνουν σε λόγο 1:3:5:7:9. Στη γραφική παράσταση της ταχύτητας το βλέπουμε με την πρώτη ματιά.

Το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση του τραμ το τεμαχίσαμε σε λωρίδες ενός δευτερολέπτου, εναλλάξ κόκκινες και μπλε. Το εμβαδόν κάθε λωρίδας είναι το διάστημα που διήνυσε το τραμ στη διάρκεια εκείνου του δευτερολέπτου. Οι λευκές γραμμές χωρίζουν το εμβαδόν σε ίσα τριγωνάκια, καθένα είναι το μισό ενός τετραγωνιδίου 1 s επί 1 m/s. Στην πρώτη λωρίδα υπάρχει ένα τριγωνάκι, στη δεύτερη τρία, στην τρίτη πέντε και στην τέταρτη επτά. Κάθε επόμενη λωρίδα είναι ψηλότερη κατά ένα τετραγωνίδιο, και γι' αυτό προστίθενται σε αυτήν δύο τριγωνάκια. Τα διαστήματα των διαδοχικών δευτερολέπτων, και μαζί τους οι αποστάσεις των σημαδιών, βρίσκονται σε λόγο 1:3:5:7.

Όταν προσθέτουμε τις λωρίδες, παίρνουμε το διάστημα από την εκκίνηση: μετά από ένα δευτερόλεπτο ένα τριγωνάκι, μετά από δύο 1 + 3 = 4, μετά από τρία 1 + 3 + 5 = 9, μετά από τέσσερα 16. Κάθε φορά βγαίνει το τετράγωνο του αριθμού των δευτερολέπτων, ακριβώς σύμφωνα με τον τύπο $s=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot t^2$. Μια άλλη επιτάχυνση θα έκανε τη γραφική παράσταση πιο απότομη ή πιο ήπια, οι αριθμοί των τριγωνακίων όμως θα έμεναν ίδιοι.

Η γραφική παράσταση του διαστήματος είναι παραβολή

Γράφουμε τα διαστήματα του τραμ $s=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot t^2$ ανά ακέραιο δευτερόλεπτο. Σε ένα δευτερόλεπτο διανύει 0,5 m, σε δύο 2 m, σε τρία 4,5 m, σε τέσσερα 8 m και σε δέκα 50 m. Διπλάσιος χρόνος δίνει τετραπλάσιο διάστημα, τριπλάσιος χρόνος εννεαπλάσιο, επειδή ο χρόνος στον τύπο υψώνεται στο τετράγωνο.

Τα σημεία δεν βρίσκονται πια πάνω σε ευθεία, αλλά σε καμπύλη γραμμή που ονομάζεται παραβολή. Γιατί καμπυλώνει προς τα πάνω; Η κλίση της γραφικής παράστασης του διαστήματος είναι η ταχύτητα, και αυτή στο τραμ διαρκώς αυξάνεται. Στην αρχή το τραμ στέκεται και η γραφική παράσταση είναι οριζόντια, μετά γίνεται όλο και πιο απότομη. Η γκρίζα διακεκομμένη ευθεία είναι η γραφική παράσταση της κίνησης με σταθερή μέση ταχύτητα 5 m/s, που σε δέκα δευτερόλεπτα καταλήγει στο ίδιο σημείο. Το τραμ στην αρχή μένει πίσω, προς το τέλος καλύπτει τη διαφορά.

Ο μαθηματικός θα πει ότι το διάστημα είναι δευτεροβάθμια συνάρτηση του χρόνου, επειδή σε αυτό εμφανίζεται ο χρόνος στο τετράγωνο. Γραφική παράσταση κάθε δευτεροβάθμιας συνάρτησης είναι μια παραβολή, ακόμη και για το αυτοκίνητο που δεν ξεκινά από την ηρεμία. Η γραφική του παράσταση $s={\upsilon }_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot t^2$ όμως δεν ξεκινά οριζόντια. Το αυτοκίνητο κινείται ήδη στην αρχή με 10 m/s, και έτσι η γραφική παράσταση ξεκινά από την αρχή των αξόνων κατευθείαν με κλίση 10 m/s και μετά ανεβαίνει όλο και πιο απότομα. Περισσότερα για την παραβολή θα βρεις στη δευτεροβάθμια συνάρτηση.

Ταχύτητα χωρίς χρόνο

Το τραμ φτάνει στα 50 km/h περίπου σε δεκατέσσερα δευτερόλεπτα. Πόσα μέτρα διανύει στο μεταξύ; Θα μπορούσαμε να το υπολογίσουμε μέσω του χρόνου, γίνεται όμως και χωρίς αυτόν: υπάρχει ένας τύπος στον οποίο ο χρόνος δεν εμφανίζεται καθόλου. Από τον τύπο υ = υ₀ + α · t εκφράζουμε τον χρόνο, $t=\frac{\upsilon -{\upsilon }_0}{\alpha }$, και τον βάζουμε στον τύπο με τη μέση ταχύτητα:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{\upsilon +{\upsilon }_0}{2}\cdot \frac{\upsilon -{\upsilon }_0}{\alpha }\\ & =\frac{(\upsilon +{\upsilon }_0)\cdot (\upsilon -{\upsilon }_0)}{2\cdot \alpha }\end{array}$$

Στον αριθμητή κάνουμε επιμερισμό στις παρενθέσεις και οι μεσαίοι όροι αλληλοαναιρούνται:

$$\begin{array}{rl}(\upsilon +{\upsilon }_0)\cdot (\upsilon -{\upsilon }_0)& ={\upsilon }^2-\upsilon \cdot {\upsilon }_0+{\upsilon }_0\cdot \upsilon -{\upsilon }_0^2\\ & ={\upsilon }^2-{\upsilon }_0^2\end{array}$$

Έχουμε λοιπόν $s=\frac{{\upsilon }^2-{\upsilon }_0^2}{2\cdot \alpha }$. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 2 · α και προσθέτουμε το ${\upsilon }_0^2$:

$${\upsilon }^2={\upsilon }_0^2+2\cdot \alpha \cdot s$$

Τον ελέγχουμε στο αυτοκίνητο: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², και αυτό είναι πράγματι (20 m/s)².

Το τραμ ξεκινά από την ηρεμία, άρα υ² = 2 · α · s και το διάστημα είναι $s=\frac{{\upsilon }^2}{2\cdot \alpha }$. Την ταχύτητα δεν θα τη στρογγυλοποιήσουμε, θα τη βάλουμε στον τύπο ως κλάσμα:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Για να φτάσει στα πενήντα, το τραμ χρειάζεται σχεδόν εκατό μέτρα γραμμής.

Οι ίδιοι τύποι ισχύουν και για το φρενάρισμα, μόνο με αρνητική επιτάχυνση, όταν η θετική φορά δείχνει κατά τη φορά της κίνησης. Αν το αυτοκίνητο φρενάρει ως τη στάση, η τελική ταχύτητα είναι μηδέν και η σχέση ${\upsilon }^2={\upsilon }_0^2+2\cdot \alpha \cdot s$ λέει πόσα μέτρα χρειάζεται για να σταματήσει. Αυτό είναι το διάστημα πέδησης, που αυξάνεται με την ταχύτητα πολύ πιο γρήγορα απ' ό,τι θα ήθελαν οι οδηγοί.

Πόσα μέτρα χρειάζεται πραγματικά ένα αυτοκίνητο, όταν στο διάστημα πέδησης προσθέσουμε και τον χρόνο μέχρι να πατήσει ο οδηγός το φρένο, και γιατί ένα αυτοκίνητο με διπλάσια ταχύτητα χρειάζεται τετραπλάσιο διάστημα πέδησης, θα το υπολογίσουμε στο επόμενο άρθρο, Φρενάρισμα και διάστημα πέδησης.