Moto uniformemente accelerato

Un tram è fermo alla fermata, le porte si chiudono e il tram parte con un’accelerazione di 1 m/s². A ogni secondo va più veloce di 1 m/s: dopo il primo secondo a 1 m/s, dopo il secondo a 2 m/s, dopo il decimo a 10 m/s. Un moto lungo una retta in cui l’accelerazione resta costante si chiama moto rettilineo uniformemente accelerato. Uniformemente perché la velocità aumenta in modo uniforme, della stessa quantità a ogni secondo. Nessun tram o automobile ha un’accelerazione perfettamente costante, ma la partenza al semaforo verde o un sasso lasciato cadere dalla mano ci si avvicinano molto.

Velocità in un istante qualsiasi

A che velocità va il tram dopo sette secondi? Probabilmente rispondi 7 m/s, e hai ragione. La formula generale la ricaviamo da quella dell’accelerazione $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Avviamo il cronometro nel momento in cui iniziamo a osservare il moto, quindi l’intervallo Δt è semplicemente il tempo t sul cronometro. La variazione di velocità è v − v₀, dove v₀ è la velocità iniziale, quella che il corpo aveva quando abbiamo fatto partire il cronometro. Moltiplichiamo entrambi i membri per il tempo e sommiamo la velocità iniziale:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

La velocità al tempo t è quindi

$$v=v_0+a\cdot t$$

Alla velocità di partenza si aggiunge a a ogni secondo, in t secondi dunque a · t. Il tram parte da fermo, v₀ = 0 m/s, e dopo dieci secondi va a

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

I metri al secondo quadrato moltiplicati per i secondi danno metri al secondo: le unità tornano. Per passare ai chilometri all’ora abbiamo moltiplicato per 3,6.

Il grafico della velocità è una retta

La formula v = v₀ + a · t ha la stessa forma di s = s₀ + v · t, la formula dello spazio a velocità costante. È una funzione lineare y = m · x + q, solo che al posto di x c’è il tempo, al posto di y la velocità, il coefficiente angolare è l’accelerazione e il termine noto q è la velocità iniziale. Il grafico della velocità è perciò una retta.

La retta rossa è quella del tram: parte dall’origine e in un secondo sale di 1 m/s. Quella blu è di un’auto che si trascina dietro a un trattore a 10 m/s, cioè 36 km/h. Al conducente finisce la pazienza, dà gas e vuole superare il trattore. L’auto ora ha un’accelerazione di 2 m/s². Il suo grafico parte sull’asse verticale all’altezza v₀ = 10 m/s e sale con una pendenza doppia rispetto a quello del tram. La pendenza del grafico della velocità è l’accelerazione, come la pendenza del grafico dello spazio è la velocità.

Lo spazio è l’area sotto il grafico

Quanti metri percorre l’auto durante il sorpasso? A velocità costante lo spazio è nascosto nell’area sotto il grafico della velocità. Lì il grafico è orizzontale e l’area sotto di esso è un rettangolo. Ha senso anche per un grafico che sale? Tagliamo il tempo in strisce sottili, per esempio di un centesimo di secondo. In un centesimo di secondo la velocità dell’auto cambia solo di 0,02 m/s, quindi in ogni striscia l’auto va a una velocità quasi costante e percorre tanto quanto l’area della striscia, altezza per larghezza. Più le strisce sono sottili, più questo è preciso. Sommando gli spazi di tutte le strisce otteniamo l’intera area sotto il grafico.

Sotto il grafico della velocità c’è un trapezio. La linea tratteggiata orizzontale lo divide in un rettangolo blu e un triangolo rosso. Il rettangolo blu è largo t e alto v₀. La sua area v₀ · t corrisponde allo spazio che l’auto percorrerebbe se non accelerasse affatto.

Il triangolo rosso è il premio per l’accelerazione, lo spazio in più rispetto alla marcia alla velocità iniziale. È un triangolo rettangolo: un cateto è il tempo t, l’altro l’incremento di velocità Δv = a · t. Un triangolo così è la metà di un rettangolo con gli stessi lati, quindi la sua area è

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Rettangolo e triangolo insieme danno lo spazio del moto uniformemente accelerato:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Quando il corpo parte da fermo, il rettangolo scompare e resta solo il triangolo, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. In dieci secondi il tram percorre

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

I secondi al quadrato si semplificano e restano i metri.

Verrebbe da fare un calcolo più semplice, s = v · t con la velocità finale: 10 m/s · 10 s = 100 m. È il doppio, perché il tram ha viaggiato a 10 m/s solo all’ultimo istante. Nel grafico, al posto del triangolo misureremmo l’intero rettangolo, che ha un’area doppia.

Il sorpasso del trattore

Ora ripercorriamo tutto il sorpasso passo per passo. L’auto accelera per cinque secondi. A che velocità andrà alla fine e quanti metri avrà percorso nel frattempo? Prima i dati:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Le unità sono quelle fondamentali e le formule generali le abbiamo già. Sostituiamo prima i numeri nella formula della velocità:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

E poi in quella dello spazio:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Il rettangolo blu della figura ha dunque un’area di 50 m e il triangolo rosso di 25 m. Il risultato ha senso? Se l’auto andasse per tutto il tempo alla velocità iniziale di 10 m/s, percorrerebbe 50 m; se andasse per tutto il tempo alla velocità finale di 20 m/s, ne percorrerebbe 100 m. Il risultato sta tra questi due valori. In cinque secondi l’auto accelera fino a 72 km/h e percorre 75 m.

Il trattore intanto ha continuato a 10 m/s e ha percorso 50 m, come il rettangolo blu. In cinque secondi l’auto ha quindi guadagnato sul trattore 25 m, proprio l’area del triangolo rosso. Se il trattore trainasse un lungo rimorchio, il conducente dovrebbe accelerare più a lungo.

La velocità media sta esattamente a metà

L’area del trapezio si può calcolare anche in un colpo solo: la media dei due lati paralleli per l’altezza. I lati paralleli qui sono v₀ e v, l’altezza è il tempo:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Ma lo spazio sappiamo scriverlo anche come velocità media per tempo, s = v_m · t. Perciò nel moto uniformemente accelerato vale

$$v_m=\frac{v_0+v}{2}.$$

La velocità media sta esattamente a metà tra quella iniziale e quella finale. Per l’auto è 15 m/s, e 15 m/s · 5 s fa di nuovo 75 m. Funziona solo perché il grafico della velocità è una retta. In altri casi la velocità media non deve per forza stare a metà, per esempio nel viaggio andata a 60, ritorno a 40.

Distanze nel rapporto 1 : 3 : 5 : 7

Quando un’auto che parte lascia un segno a ogni secondo, le distanze tra i segni crescono nel rapporto 1:3:5:7:9. Nel grafico della velocità lo si vede a colpo d’occhio.

Abbiamo tagliato l’area sotto il grafico del tram in strisce di un secondo, alternate rosse e blu. L’area di ogni striscia è lo spazio percorso dal tram in quel secondo. Le linee bianche dividono l’area in triangolini uguali, ciascuno pari a metà di un quadretto di 1 s per 1 m/s. Nella prima striscia c’è un triangolino, nella seconda tre, nella terza cinque e nella quarta sette. Ogni striscia successiva è più alta di un quadretto, e per questo ci sono due triangolini in più. Gli spazi percorsi nei singoli secondi, e con essi le distanze tra i segni, sono nel rapporto 1:3:5:7.

Sommando le strisce otteniamo lo spazio dalla partenza: dopo un secondo un triangolino, dopo due 1 + 3 = 4, dopo tre 1 + 3 + 5 = 9, dopo quattro 16. Ogni volta esce il quadrato del numero di secondi, esattamente come dice la formula $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Un’altra accelerazione renderebbe il grafico più ripido o più piatto, ma il numero di triangolini resterebbe lo stesso.

Il grafico dello spazio è una parabola

Scriviamo gli spazi percorsi dal tram, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$, a secondi interi. In un secondo percorre 0,5 m, in due 2 m, in tre 4,5 m, in quattro 8 m e in dieci 50 m. Un tempo doppio dà uno spazio quadruplo, un tempo triplo uno spazio nove volte maggiore, perché nella formula il tempo è elevato al quadrato.

I punti non stanno più su una retta, ma su una linea curva detta parabola. Perché si piega verso l’alto? La pendenza del grafico dello spazio è la velocità, che per il tram cresce di continuo. All’inizio il tram è fermo e il grafico è orizzontale, poi diventa sempre più ripido. La retta grigia tratteggiata è il grafico di un moto a velocità media costante di 5 m/s, che dopo dieci secondi arriva nello stesso punto. Il tram prima resta indietro, verso la fine recupera lo svantaggio.

Il matematico dice che lo spazio è una funzione quadratica del tempo, perché vi compare il tempo al quadrato. Il grafico di ogni funzione quadratica è una parabola, anche per l’auto che non parte da ferma. Il suo grafico $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ però non parte in orizzontale. L’auto va già a 10 m/s all’inizio, e così il grafico esce dall’origine direttamente con una pendenza di 10 m/s e poi sale sempre più ripido. Altro sulla parabola lo trovi nell’articolo sulla funzione quadratica.

Velocità senza il tempo

Il tram arriva a 50 km/h in circa quattordici secondi. Quanti metri percorre nel frattempo? Si potrebbe calcolare passando per il tempo, ma si può anche senza: esiste una formula in cui il tempo non compare affatto. Dalla formula v = v₀ + a · t ricaviamo il tempo, $t=\frac{v-v_0}{a}$, e lo inseriamo nella formula con la velocità media:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

Al numeratore sviluppiamo le parentesi e i termini centrali si annullano a vicenda:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Abbiamo quindi $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Moltiplichiamo entrambi i membri per 2 · a e sommiamo $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Verifichiamola sull’auto: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², e questo è proprio (20 m/s)².

Il tram parte da fermo, quindi v² = 2 · a · s e lo spazio è $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Non arrotondiamo la velocità, la inseriamo nella formula come frazione:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Per arrivare ai cinquanta all’ora al tram servono quasi cento metri di binario.

Le stesse formule valgono anche per la frenata, solo con accelerazione negativa, quando il verso positivo è quello di marcia. Se l’auto frena fino a fermarsi, la velocità finale è nulla e la relazione $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ dice quanti metri le servono per fermarsi. È lo spazio di frenata, che cresce con la velocità molto più in fretta di quanto piacerebbe ai conducenti.

Di quanti metri ha davvero bisogno l’auto, se allo spazio di frenata aggiungiamo anche il tempo prima che il conducente prema il freno, e perché un’auto a velocità doppia ha bisogno di uno spazio di frenata quadruplo, lo calcoleremo nel prossimo articolo, Frenata e spazio di frenata.