Рівноприскорений рух

Трамвай стоїть на зупинці, двері зачиняються, і трамвай рушає з прискоренням 1 м/с². Щосекунди він їде на 1 м/с швидше: після першої секунди 1 м/с, після другої 2 м/с, після десятої 10 м/с. Рух по прямій, під час якого прискорення залишається сталим, називають рівноприскореним прямолінійним рухом. «Рівно-» тому, що швидкість зростає рівномірно, за кожну секунду на однакову величину. Абсолютно сталого прискорення не має жоден трамвай чи автомобіль, але рушання на зелене світло або камінь, випущений з руки, дуже близькі до нього.

Швидкість у довільний момент

Яка швидкість трамвая через сім секунд? Імовірно, ти відповіси 7 м/с, і це правильно. Загальну формулу виведемо з формули прискорення $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Секундомір вмикаємо в мить, коли починаємо стежити за рухом, тож проміжок Δt — це просто час t на секундомірі. Зміна швидкості дорівнює v − v₀, де v₀ — початкова швидкість, яку тіло мало, коли ми запустили секундомір. Обидві частини помножимо на час і додамо початкову швидкість:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Швидкість у момент часу t дорівнює

$$v=v_0+a\cdot t$$

До початкової швидкості щосекунди додається a, отже, за t секунд — a · t. Трамвай рушає зі стану спокою, v₀ = 0 м/с, і через десять секунд їде зі швидкістю

$$v=1{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 10\mathrm{с}=10\mathrm{м}/\mathrm{с}=36\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}.$$

Метри за секунду в квадраті, помножені на секунди, дають метри за секунду, одиниці збігаються. На кілометри за годину ми переводили множенням на число 3,6.

Графік швидкості — пряма

Формула v = v₀ + a · t виглядає так само, як s = s₀ + v · t, формула шляху за сталої швидкості. Це лінійна функція y = a · x + b, лише замість x стоїть час, замість y — швидкість, кутовим коефіцієнтом є прискорення, а b — початкова швидкість. Графіком швидкості тому є пряма.

Червона пряма належить трамваю, починається в початку координат і за секунду підіймається на 1 м/с. Синя належить автомобілю, що плететься за трактором зі швидкістю 10 м/с, тобто 36 км/год. Водієві урвався терпець, він додає газу й хоче обігнати трактор. Тепер автомобіль має прискорення 2 м/с². Його графік починається на вертикальній осі на висоті v₀ = 10 м/с і підіймається вдвічі крутіше, ніж графік трамвая. Крутість графіка швидкості — це прискорення, так само як крутість графіка шляху — це швидкість.

Шлях — це площа під графіком

Скільки метрів автомобіль проїжджає під час обгону? За сталої швидкості шлях схований у площі під графіком швидкості. Графік там горизонтальний, а площа під ним — прямокутник. Чи має це сенс і для графіка, що зростає? Розділимо час на тонкі смужки, скажімо, по одній сотій секунди. За одну соту секунди швидкість автомобіля змінюється лише на 0,02 м/с, тож у кожній смужці автомобіль їде майже зі сталою швидкістю й проїжджає стільки, скільки дорівнює площа смужки: висота помножена на ширину. Чим тонші смужки, тим точніше це справджується. Коли ми додамо шляхи з усіх смужок, отримаємо всю площу під графіком.

Під графіком швидкості лежить трапеція. Горизонтальна пунктирна лінія розрізає її на синій прямокутник і червоний трикутник. Синій прямокутник має ширину t і висоту v₀. Його площа v₀ · t відповідає шляху, який автомобіль проїхав би, якби взагалі не прискорювався.

Червоний трикутник — це нагорода за прискорення, додатковий шлях порівняно з їздою зі сталою початковою швидкістю. Він прямокутний, один його катет — час t, а другий — приріст швидкості Δv = a · t. Такий трикутник — половина прямокутника з тими самими сторонами, тож його площа дорівнює

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Прямокутник і трикутник разом дають шлях рівноприскореного руху:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Коли тіло рушає зі стану спокою, прямокутник зникає й лишається тільки трикутник, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Трамвай за десять секунд проїжджає

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot (10\mathrm{с}{)}^2=50\mathrm{м}.$$

Секунди в квадраті скорочуються, і лишаються метри.

Напрошується простіше обчислення, s = v · t з кінцевою швидкістю: 10 м/с · 10 с = 100 м. Це вдвічі більше, бо швидкість 10 м/с трамвай мав лише наприкінці. На графіку замість трикутника ми виміряли б увесь прямокутник, а його площа вдвічі більша.

Обгін трактора

Тепер розберемо весь обгін по кроках. Автомобіль прискорюється п'ять секунд. З якою швидкістю він потім їхатиме і скільки метрів проїде за цей час? Спершу умова:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ a& =2{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\\ t& =5\mathrm{с}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Одиниці основні, загальні формули в нас уже є. Числа спершу підставимо у формулу швидкості:

$$v=10\mathrm{м}/\mathrm{с}+2{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 5\mathrm{с}=20\mathrm{м}/\mathrm{с}=72\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

А тепер у формулу шляху:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{м}/\mathrm{с}\cdot 5\mathrm{с}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot (5\mathrm{с}{)}^2\\ & =50\mathrm{м}+25\mathrm{м}=75\mathrm{м}\end{array}$$

Синій прямокутник на рисунку має, отже, площу 50 м, а червоний трикутник — 25 м. Чи має результат сенс? Якби автомобіль увесь час їхав з початковою швидкістю 10 м/с, він проїхав би 50 м, а якби увесь час їхав з кінцевою 20 м/с, проїхав би 100 м. Результат лежить між цими двома значеннями. За п'ять секунд автомобіль розганяється до 72 км/год і проїжджає 75 м.

Трактор тим часом їхав далі зі швидкістю 10 м/с і проїхав 50 м, так само як синій прямокутник. Автомобіль, отже, за п'ять секунд проїхав на 25 м більше, ніж трактор, — рівно стільки, скільки дорівнює площа червоного трикутника. Якби трактор тягнув довгий причіп, водієві довелося б прискорюватися довше.

Середня швидкість лежить рівно посередині

Площу трапеції можна обчислити й одразу: півсума обох паралельних основ, помножена на висоту. Паралельні основи тут — v₀ і v, висота — час:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Але шлях можна записати і як середню швидкість, помножену на час, s = v_сер · t. Тому для рівноприскореного руху справджується

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{е}\mathrm{р}}=\frac{v_0+v}{2}.$$

Середня швидкість лежить рівно посередині між початковою та кінцевою. Для автомобіля це 15 м/с, а 15 м/с · 5 с знову дає 75 м. Це працює лише тому, що графік швидкості — пряма. В інших випадках середня швидкість посередині лежати не мусить, наприклад у подорожі туди 60, назад 40.

Відстані 1 : 3 : 5 : 7

Коли автомобіль, що розганяється, щосекунди залишає позначку, відстані між позначками зростають у відношенні 1:3:5:7:9. На графіку швидкості це видно одразу.

Площу під графіком трамвая ми розрізали на секундні смужки, які чергуються червоним і синім. Площа кожної смужки — це шлях, який трамвай проїхав за цю секунду. Білі лінії ділять площу на однакові трикутнички, кожен із яких — половина квадратика 1 с на 1 м/с. У першій смужці один трикутничок, у другій три, у третій п'ять і в четвертій сім. Кожна наступна смужка вища на один квадратик, і тому в ній додаються два трикутнички. Шляхи за окремі секунди, а з ними й відстані між позначками, перебувають у відношенні 1:3:5:7.

Якщо смужки додавати, отримаємо шлях від старту: після однієї секунди один трикутничок, після двох 1 + 3 = 4, після трьох 1 + 3 + 5 = 9, після чотирьох 16. Щоразу виходить квадрат кількості секунд, точно за формулою $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Інше прискорення зробило б графік крутішим або пологішим, але кількості трикутничків залишилися б тими самими.

Графік шляху — парабола

Запишемо шляхи трамвая $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ через цілі секунди. За одну секунду він проїжджає 0,5 м, за дві 2 м, за три 4,5 м, за чотири 8 м і за десять 50 м. Удвічі довший час дає вчетверо довший шлях, утричі довший — удев'ятеро довший, бо час у формулі піднесено до квадрата.

Точки вже лежать не на прямій, а на викривленій лінії, яка називається параболою. Чому вона вигинається вгору? Крутість графіка шляху — це швидкість, а в трамвая вона постійно зростає. На початку трамвай стоїть і графік горизонтальний, потім він стає дедалі крутішим. Сіра пунктирна пряма — це графік руху зі сталою середньою швидкістю 5 м/с, який за десять секунд закінчується в тій самій точці. Трамвай спочатку відстає, а наприкінці надолужує втрачене.

Математик скаже, що шлях є квадратичною функцією часу, бо в ній з'являється час у квадраті. Графіком кожної квадратичної функції є парабола, і для автомобіля, який рушає не зі стану спокою, теж. Його графік $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ починається не горизонтально. Автомобіль уже на початку їде зі швидкістю 10 м/с, тож графік виходить із початку координат одразу з крутістю 10 м/с і потім підіймається дедалі стрімкіше. Більше про параболу ти знайдеш в статті про квадратичну функцію.

Швидкість без часу

Трамвай розганяється до 50 км/год приблизно за чотирнадцять секунд. Скільки метрів він при цьому проїжджає? Можна було б обчислити через час, але можна й без нього: існує формула, у якій час взагалі не фігурує. З формули v = v₀ + a · t виразимо час, $t=\frac{v-v_0}{a}$, і підставимо його у формулу із середньою швидкістю:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

У чисельнику розкриємо дужки, і середні члени взаємно скоротяться:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Отже, $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Обидві частини помножимо на 2 · a і додамо $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Перевіримо її на автомобілі: (10 м/с)² + 2 · 2 м/с² · 75 м = 100 м²/с² + 300 м²/с² = 400 м²/с², а це справді (20 м/с)².

Трамвай рушає зі стану спокою, тому v² = 2 · a · s, а шлях дорівнює $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Швидкість округлювати не будемо, підставимо її у формулу як дріб:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{м}\end{array}$$

Для розгону до п'ятдесяти трамваєві потрібно майже сто метрів колії.

Ті самі формули працюють і для гальмування, тільки з від'ємним прискоренням, якщо додатний напрям осі збігається з напрямом руху. Якщо автомобіль гальмує до повної зупинки, кінцева швидкість нульова, і співвідношення $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ показує, скільки метрів йому потрібно, щоб зупинитися. Це гальмівний шлях, який зі швидкістю зростає значно швидше, ніж хотілося б водіям.

Скільки метрів автомобілю потрібно насправді, якщо до гальмівного шляху додати ще й мить, доки водій узагалі натисне на гальмо, і чому автомобіль із удвічі більшої швидкості потребує вчетверо довшого гальмівного шляху, ми обчислимо в наступній статті — Гальмування і гальмівний шлях.