Jævnt accelereret bevægelse

Sporvognen holder ved stoppestedet, dørene lukker, og sporvognen sætter i gang med accelerationen 1 m/s². Hvert sekund kører den 1 m/s hurtigere: efter det første sekund 1 m/s, efter det andet 2 m/s, efter det tiende 10 m/s. En bevægelse langs en ret linje, hvor accelerationen forbliver konstant, kalder vi jævnt accelereret retlinet bevægelse. Jævnt, fordi hastigheden vokser jævnt, med det samme stykke hvert sekund. Fuldstændig konstant acceleration har hverken sporvogne eller biler, men en start på grønt eller en sten, der slippes fra hånden, kommer meget tæt på.

Hastighed til et vilkårligt tidspunkt

Hvor hurtigt kører sporvognen efter syv sekunder? Du svarer sikkert 7 m/s, og det er rigtigt. Den generelle formel udleder vi af formlen for acceleration $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ . Stopuret starter vi i det øjeblik, vi begynder at følge bevægelsen, så tiden Δt er simpelthen tiden t på stopuret. Hastighedsændringen er v − v₀, hvor v₀ er begyndelseshastigheden, som legemet havde, da vi startede stopuret. Begge sider ganger vi med tiden og lægger begyndelseshastigheden til:

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{v - v_{0}}{t} / \cdot t \\ a \cdot t & = & v - v_{0} / + v_{0} \\ v_{0} + a \cdot t & = & v \end{array}$

Hastigheden til tiden t er altså

$v = v_{0} + a \cdot t$

Til den oprindelige hastighed lægges hvert sekund a, på t sekunder altså a · t. Sporvognen kører fra hvile, v₀ = 0 m/s, og efter ti sekunder kører den

$v = 1 {m / s}^{2} \cdot 10 s = 10 m / s = 36 km / h .$

Meter pr. sekund i anden ganget med sekunder giver meter pr. sekund, enhederne passer. Til kilometer i timen omregnede vi ved at gange med tallet 3,6.

(t,v)-grafen er en ret linje

Formlen v = v₀ + a · t ser ud ligesom s = s₀ + v · t, formlen for strækningen ved konstant fart. Det er en lineær funktion y = a · x + b, bare står der tid i stedet for x og hastighed i stedet for y, hældningskoefficienten er accelerationen, og b er begyndelseshastigheden. Grafen for hastigheden er derfor en ret linje.

Graf over hastigheden af en sporvogn, der sætter i gang fra hvile (rødt), og af en bil, der i begyndelsen har hastigheden v_0 og en større acceleration (blåt)

Den røde linje hører til sporvognen, den begynder i origo og stiger med 1 m/s pr. sekund. Den blå hører til en bil, der luntrer bag en traktor med farten 10 m/s, altså 36 km/h. Føreren mister tålmodigheden, giver gas og vil overhale traktoren. Bilen har nu accelerationen 2 m/s². Dens graf begynder på den lodrette akse i højden v₀ = 10 m/s og stiger dobbelt så stejlt som sporvognens graf. Hældningen af (t,v)-grafen er accelerationen, ligesom hældningen af (t,s)-grafen er farten.

Strækningen er arealet under grafen

Hvor mange meter kører bilen under overhalingen? Ved konstant fart er strækningen skjult i arealet under (t,v)-grafen. Grafen er dér vandret, og arealet under den et rektangel. Giver det også mening for en graf, der stiger? Vi skærer tiden i tynde strimler, for eksempel for hver hundrededel sekund. På en hundrededel sekund ændrer bilens hastighed sig kun med 0,02 m/s, så i hver strimmel kører bilen næsten med konstant fart og kører lige så langt, som strimlens areal er, højde gange bredde. Jo tyndere strimler, desto mere præcist gælder det. Når vi lægger strækningerne fra alle strimlerne sammen, får vi hele arealet under grafen.

Arealet under bilens (t,v)-graf er et trapez delt i et rektangel (blåt) og en trekant (rødt). Til venstre begyndelseshastigheden v_0, til højre hastighedsændringen Δv

Under (t,v)-grafen er et trapez. Den vandrette stiplede linje skærer det i et blåt rektangel og en rød trekant. Det blå rektangel er t bredt og v₀ højt. Dets areal v₀ · t svarer til den strækning, som bilen ville køre, hvis den slet ikke accelererede.

Den røde trekant er belønningen for at accelerere, strækningen ud over kørsel med den oprindelige hastighed. Den er retvinklet, den ene katete er tiden t og den anden hastighedstilvæksten Δv = a · t. En sådan trekant er halvdelen af et rektangel med de samme sider, så dens areal er

$\frac{1}{2} \cdot t \cdot a \cdot t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} .$

Rektanglet og trekanten giver tilsammen strækningen ved jævnt accelereret bevægelse:

$s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$

Når legemet starter fra hvile, forsvinder rektanglet, og kun trekanten bliver tilbage, $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ . Sporvognen kører på ti sekunder

$s = \frac{1}{2} \cdot 1 {m / s}^{2} \cdot (10 s)^{2} = 50 m .$

Sekunderne i anden forkortes, og tilbage er meter.

Der ligger en enklere beregning lige for, s = v · t med sluthastigheden: 10 m/s · 10 s = 100 m. Det er dobbelt så meget, fordi sporvognen først helt til sidst kørte 10 m/s. I grafen ville vi i stedet for trekanten have målt hele rektanglet, og det har dobbelt så stort et areal.

Overhaling af traktoren

Nu gennemgår vi hele overhalingen trin for trin. Bilen accelererer i fem sekunder. Hvor hurtigt kører den så, og hvor mange meter kører den imens? Først opgaven:

$\begin{aligned} v_{0} & = 10 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ t & = 5 s \\ v & = ?, s = ? \end{aligned}$

Enhederne er grundenheder, og de generelle formler har vi allerede. Først sætter vi tallene ind i formlen for hastigheden:

$v = 10 m / s + 2 {m / s}^{2} \cdot 5 s = 20 m / s = 72 km / h$

Og i formlen for strækningen:

$\begin{aligned} s & = 10 m / s \cdot 5 s + \frac{1}{2} \cdot 2 {m / s}^{2} \cdot (5 s)^{2} \\ = 50 m + 25 m = 75 m \end{aligned}$

Det blå rektangel på figuren har altså arealet 50 m og den røde trekant 25 m. Giver resultatet mening? Hvis bilen havde kørt hele tiden med den oprindelige hastighed 10 m/s, ville den have kørt 50 m, hvis den havde kørt hele tiden med sluthastigheden 20 m/s, ville den have kørt 100 m. Resultatet ligger mellem de to værdier. Bilen accelererer på fem sekunder til 72 km/h og kører 75 m.

Traktoren fortsatte imens med farten 10 m/s og kørte 50 m, ligesom det blå rektangel. Bilen kørte altså på fem sekunder 25 m længere end traktoren, netop trekantens areal. Hvis traktoren trak en lang anhænger, ville føreren skulle give gas længere.

Gennemsnitsfarten er præcis i midten

Arealet af et trapez kan vi også beregne i ét skridt: gennemsnittet af de to parallelle sider gange højden. De parallelle sider er her v₀ og v, højden er tiden:

$s = \frac{v_{0} + v}{2} \cdot t$

Men strækningen kan vi også skrive som gennemsnitsfarten gange tiden, $s = \bar{v} \cdot t$ . Derfor gælder ved jævnt accelereret bevægelse

$\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} .$

Gennemsnitsfarten ligger præcis midt imellem begyndelses- og sluthastigheden. For bilen er den 15 m/s, og 15 m/s · 5 s er igen 75 m. Det virker kun, fordi (t,v)-grafen er en ret linje. Andre steder behøver gennemsnitsfarten ikke at ligge i midten, for eksempel ved turen derhen 60, tilbage 40.

Afstande 1 : 3 : 5 : 7

Når en bil, der sætter i gang, efterlader et mærke hvert sekund, vokser afstandene i forholdet 1:3:5:7:9. I (t,v)-grafen ser vi det med det samme.

Trekanten under (t,v)-grafen for sporvognen i fire sekunder, delt i strimler for hvert sekund og ens små trekanter: i strimlerne er der efter hinanden 1, 3, 5 og 7

Arealet under sporvognens graf har vi skåret i sekundstrimler, skiftevis røde og blå. Arealet af hver strimmel er den strækning, som sporvognen kørte i det sekund. De hvide streger deler arealet i ens små trekanter, hver er halvdelen af en rude på 1 s gange 1 m/s. I den første strimmel er der én lille trekant, i den anden tre, i den tredje fem og i den fjerde syv. Hver ny strimmel er en rude højere, og derfor kommer der to små trekanter til. Strækningerne i de enkelte sekunder, og med dem afstandene mellem mærkerne, er i forholdet 1:3:5:7.

Når vi lægger strimlerne sammen, får vi strækningen fra start: efter ét sekund én lille trekant, efter to 1 + 3 = 4, efter tre 1 + 3 + 5 = 9, efter fire 16. Hver gang kommer kvadratet på antallet af sekunder ud, præcis ifølge formlen $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ . En anden acceleration ville gøre grafen stejlere eller fladere, men antallet af små trekanter ville forblive det samme.

Strækningsgrafen er en parabel

Vi skriver sporvognens strækninger $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ op for hele sekunder. På ét sekund kører den 0,5 m, på to 2 m, på tre 4,5 m, på fire 8 m og på ti 50 m. Dobbelt så lang tid giver fire gange så lang strækning, tre gange så lang tid ni gange så lang, fordi tiden i formlen er i anden potens.

Sporvognens strækningsgraf er en parabel (rødt), orange punkter ved hele sekunder. Den grå stiplede linje hører til en bevægelse med konstant gennemsnitsfart

Punkterne ligger ikke længere på en ret linje, men på en krum kurve, der kaldes en parabel. Hvorfor bøjer den opad? Hældningen af (t,s)-grafen er farten, og den vokser hele tiden for sporvognen. I begyndelsen står sporvognen stille, og grafen er vandret, så bliver den stadig stejlere. Den grå stiplede linje er grafen for en bevægelse med den konstante gennemsnitsfart 5 m/s, som på ti sekunder ender i samme punkt. Sporvognen sakker først bagud og indhenter tabet mod slutningen.

Matematikeren siger, at strækningen er en andengradsfunktion af tiden, fordi tiden indgår i anden potens. Grafen for enhver andengradsfunktion er en parabel, også for bilen, der ikke starter fra hvile. Dens graf $s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ begynder dog ikke vandret. Bilen kører allerede i begyndelsen 10 m/s, og derfor udgår grafen fra origo med det samme med hældningen 10 m/s og stiger så stadig stejlere. Mere om parablen finder du i artiklen Andengradspolynomium.

Hastighed uden tid

Sporvognen kommer op på 50 km/h på cirka fjorten sekunder. Hvor mange meter kører den imens? Man kunne regne det ud via tiden, men det går også uden: Der findes en formel, hvor tiden slet ikke indgår. Af formlen v = v₀ + a · t isolerer vi tiden, $t = \frac{v - v_{0}}{a}$ , og sætter den ind i formlen med gennemsnitsfarten:

$\begin{aligned} s & = \frac{v + v_{0}}{2} \cdot \frac{v - v_{0}}{a} \\ = \frac{(v + v_{0}) \cdot (v - v_{0})}{2 \cdot a} \end{aligned}$

I tælleren ganger vi parenteserne ud, og de midterste led går ud med hinanden:

$\begin{aligned} (v + v_{0}) \cdot (v - v_{0}) & = v^{2} - v \cdot v_{0} + v_{0} \cdot v - v_{0}^{2} \\ = v^{2} - v_{0}^{2} \end{aligned}$

Vi har altså $s = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 \cdot a}$ . Begge sider ganger vi med 2 · a og lægger $v_{0}^{2}$ til:

$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot s$

Vi kontrollerer den på bilen: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², og det er virkelig (20 m/s)².

Sporvognen sætter i gang fra hvile, så v² = 2 · a · s og strækningen er $s = \frac{v^{2}}{2 \cdot a}$ . Farten afrunder vi ikke, vi sætter den ind i formlen som en brøk:

$\begin{aligned} s & = \frac{{(\frac{50}{3, 6} m / s)}^{2}}{2 \cdot 1 {m / s}^{2}} \\ \approx 96 m \end{aligned}$

Op på halvtreds bruger sporvognen næsten hundrede meter spor.

De samme formler gælder også for opbremsning, bare med negativ acceleration, når den positive retning peger i kørselsretningen. Bremser en bil helt til standsning, er sluthastigheden nul, og sammenhængen $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot s$ fortæller, hvor mange meter den skal bruge for at standse. Det er bremselængden, som vokser med farten langt hurtigere, end bilisterne bryder sig om.

Hvor mange meter bilen virkelig har brug for, når vi til bremselængden lægger det øjeblik, før føreren overhovedet træder på bremsen, og hvorfor en bil med dobbelt så stor fart har brug for en fire gange så lang bremselængde, regner vi på i den næste artikel, Opbremsning og bremselængde.

« Forrige: Acceleration

Næste: Opbremsning og bremselængde »