Mișcarea uniform accelerată

Un tramvai stă în stație, ușile se închid și tramvaiul pornește cu accelerația 1 m/s². În fiecare secundă merge cu 1 m/s mai repede: după prima secundă cu 1 m/s, după a doua cu 2 m/s, după a zecea cu 10 m/s. Mișcarea pe o dreaptă, în care accelerația rămâne constantă, o numim mișcare rectilinie uniform accelerată. Uniform, pentru că viteza crește uniform, în fiecare secundă cu aceeași valoare. Niciun tramvai și nicio mașină nu are o accelerație perfect constantă, dar demarajul la semaforul verde sau piatra scăpată din mână se apropie foarte mult de ea.

Viteza la un moment oarecare

Cu ce viteză merge tramvaiul după șapte secunde? Probabil vei răspunde 7 m/s și ai dreptate. Formula generală o deducem din formula accelerației $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Pornim cronometrul în clipa în care începem să urmărim mișcarea, așa că intervalul Δt este pur și simplu timpul t de pe cronometru. Variația vitezei este v − v₀, unde v₀ este viteza inițială, pe care o avea corpul când am pornit cronometrul. Înmulțim ambele părți cu timpul și adunăm viteza inițială:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Viteza la momentul t este deci

$$v=v_0+a\cdot t$$

La viteza inițială se adaugă în fiecare secundă a, în t secunde deci a · t. Tramvaiul pornește din repaus, v₀ = 0 m/s, și după zece secunde merge cu

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Metri pe secundă la pătrat înmulțiți cu secunde dau metri pe secundă, unitățile se potrivesc. În kilometri pe oră am transformat înmulțind cu numărul 3,6.

Graficul vitezei este o dreaptă

Formula v = v₀ + a · t arată la fel ca s = s₀ + v · t, formula distanței la viteză constantă. Este o funcție de gradul întâi y = a · x + b, doar că în loc de x avem timpul, în loc de y viteza, panta este accelerația, iar b este viteza inițială. Graficul vitezei este de aceea o dreaptă.

Dreapta roșie aparține tramvaiului, începe în origine și într-o secundă urcă cu 1 m/s. Cea albastră aparține unei mașini care se târăște în spatele unui tractor cu viteza 10 m/s, adică 36 km/h. Șoferul își pierde răbdarea, apasă pedala de accelerație și vrea să depășească tractorul. Mașina are acum accelerația 2 m/s². Graficul ei începe pe axa verticală la înălțimea v₀ = 10 m/s și urcă de două ori mai abrupt decât graficul tramvaiului. Panta graficului vitezei este accelerația, așa cum panta graficului distanței este viteza.

Distanța este aria de sub grafic

Câți metri parcurge mașina în timpul depășirii? La viteză constantă, distanța este ascunsă în aria de sub graficul vitezei. Acolo graficul este orizontal, iar aria de sub el un dreptunghi. Are sens și la un grafic care urcă? Tăiem timpul în fâșii subțiri, de exemplu din sutime în sutime de secundă. Într-o sutime de secundă viteza mașinii se schimbă doar cu 0,02 m/s, așa că în fiecare fâșie mașina merge aproape cu viteză constantă și parcurge atât cât este aria fâșiei, înălțime ori lățime. Cu cât fâșiile sunt mai subțiri, cu atât afirmația este mai exactă. Dacă adunăm distanțele din toate fâșiile, obținem întreaga arie de sub grafic.

Sub graficul vitezei se află un trapez. Linia orizontală întreruptă îl taie într-un dreptunghi albastru și un triunghi roșu. Dreptunghiul albastru are lățimea t și înălțimea v₀. Aria lui v₀ · t corespunde distanței pe care ar parcurge-o mașina dacă nu ar accelera deloc.

Triunghiul roșu este răsplata pentru accelerare, distanța în plus față de mersul cu viteza inițială. Este dreptunghic, o catetă a lui este timpul t, iar cealaltă creșterea vitezei Δv = a · t. Un astfel de triunghi este jumătate dintr-un dreptunghi cu aceleași laturi, deci aria lui este

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Dreptunghiul și triunghiul dau împreună distanța mișcării uniform accelerate:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Când corpul pornește din repaus, dreptunghiul dispare și rămâne doar triunghiul, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Tramvaiul parcurge în zece secunde

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Secundele la pătrat se simplifică și rămân metri.

Pare la îndemână un calcul mai simplu, s = v · t cu viteza finală: 10 m/s · 10 s = 100 m. Este de două ori mai mult, pentru că tramvaiul a mers cu 10 m/s abia la sfârșit. În grafic am măsura în loc de triunghi tot dreptunghiul, iar acesta are aria dublă.

Depășirea tractorului

Acum parcurgem toată depășirea pas cu pas. Mașina accelerează cinci secunde. Cu ce viteză va merge apoi și câți metri parcurge între timp? Mai întâi datele problemei:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Unitățile sunt cele fundamentale, iar formulele generale le avem deja. Înlocuim mai întâi numerele în formula vitezei:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Apoi în formula distanței:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Dreptunghiul albastru din figură are deci aria 50 m, iar triunghiul roșu 25 m. Are rezultatul sens? Dacă mașina ar fi mers tot timpul cu cei 10 m/s inițiali, ar fi parcurs 50 m, iar dacă ar fi mers tot timpul cu cei 20 m/s finali, ar fi parcurs 100 m. Rezultatul se află între aceste două valori. Mașina accelerează în cinci secunde până la 72 km/h și parcurge 75 m.

Tractorul a continuat între timp cu viteza 10 m/s și a parcurs 50 m, cât aria dreptunghiului albastru. Mașina a parcurs deci în cinci secunde cu 25 m mai mult decât tractorul, exact cât aria triunghiului roșu. Dacă tractorul ar trage o remorcă lungă, șoferul ar trebui să accelereze mai mult timp.

Viteza medie se află exact la mijloc

Aria trapezului o putem calcula și dintr-odată: semisuma bazelor înmulțită cu înălțimea. Bazele sunt aici v₀ și v, înălțimea este timpul:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Distanța o putem scrie însă și ca viteza medie ori timp, s = v_m · t. De aceea în mișcarea uniform accelerată avem

$$v_m=\frac{v_0+v}{2}.$$

Viteza medie se află exact la mijloc între cea inițială și cea finală. La mașină este 15 m/s, iar 15 m/s · 5 s este din nou 75 m. Funcționează doar pentru că graficul vitezei este o dreaptă. În alte cazuri viteza medie nu se află neapărat la mijloc, de exemplu la drumul dus 60, întors 40.

Distanțele în raportul 1 : 3 : 5 : 7

Când o mașină care demarează lasă în fiecare secundă un semn, distanțele dintre semne cresc în raportul 1:3:5:7:9. În graficul vitezei se vede dintr-o privire.

Aria de sub graficul tramvaiului am tăiat-o în fâșii de câte o secundă, alternativ roșii și albastre. Aria fiecărei fâșii este distanța pe care a parcurs-o tramvaiul în acea secundă. Liniile albe împart suprafața în triunghiuri mici egale, fiecare este jumătate dintr-un pătrățel 1 s ori 1 m/s. În prima fâșie este un triunghi mic, în a doua trei, în a treia cinci și în a patra șapte. Fiecare fâșie următoare este cu un pătrățel mai înaltă, de aceea în ea se adaugă două triunghiuri mici. Distanțele din fiecare secundă, și odată cu ele distanțele dintre semne, sunt în raportul 1:3:5:7.

Când adunăm fâșiile, obținem distanța de la start: după o secundă un triunghi mic, după două 1 + 3 = 4, după trei 1 + 3 + 5 = 9, după patru 16. De fiecare dată iese pătratul numărului de secunde, exact după formula $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. O altă accelerație ar face graficul mai abrupt sau mai plat, dar numărul triunghiurilor mici ar rămâne același.

Graficul distanței este o parabolă

Scriem distanțele tramvaiului $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ la secunde întregi. Într-o secundă parcurge 0,5 m, în două 2 m, în trei 4,5 m, în patru 8 m și în zece 50 m. Un timp de două ori mai lung dă o distanță de patru ori mai lungă, un timp de trei ori mai lung o distanță de nouă ori mai lungă, pentru că timpul se ridică în formulă la pătrat.

Punctele nu mai sunt pe o dreaptă, ci pe o linie curbă numită parabolă. De ce se curbează în sus? Panta graficului distanței este viteza, iar la tramvai ea crește neîncetat. La început tramvaiul stă, iar graficul este orizontal, apoi devine tot mai abrupt. Dreapta gri întreruptă este graficul mișcării cu viteza medie constantă 5 m/s, care în zece secunde se termină în același punct. Tramvaiul rămâne mai întâi în urmă, iar spre final își recuperează pierderea.

Matematicianul spune că distanța este o funcție de gradul al doilea de timp, pentru că în ea apare timpul la pătrat. Graficul oricărei funcții de gradul al doilea este o parabolă, și în cazul mașinii care nu pornește din repaus. Graficul ei $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ nu începe însă orizontal. Mașina merge de la început cu 10 m/s, așa că graficul pornește din origine direct cu panta 10 m/s și apoi se ridică tot mai abrupt. Mai multe despre parabolă găsești la funcția de gradul al doilea.

Viteza fără timp

Tramvaiul demarează până la 50 km/h în aproximativ paisprezece secunde. Câți metri parcurge în acest timp? S-ar putea calcula aflând mai întâi timpul, dar merge și fără el: există o formulă în care timpul nu apare deloc. Din formula v = v₀ + a · t exprimăm timpul, $t=\frac{v-v_0}{a}$, și îl introducem în formula cu viteza medie:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

La numărător desfacem parantezele, iar termenii din mijloc se reduc între ei:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Avem deci $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Înmulțim ambele părți cu 2 · a și adunăm $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

O verificăm pe mașină: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², iar acesta este într-adevăr (20 m/s)².

Tramvaiul pornește din repaus, deci v² = 2 · a · s, iar distanța este $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Viteza nu o rotunjim, ci o introducem în formulă ca fracție:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Pentru a ajunge la 50 de kilometri pe oră, tramvaiul folosește aproape o sută de metri de șină.

Aceleași formule funcționează și la frânare, doar cu accelerație negativă, dacă sensul pozitiv este cel al mersului. Dacă o mașină frânează până la oprire, viteza finală este zero, iar relația $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ spune câți metri îi trebuie ca să se oprească. Aceasta este distanța de frânare, care crește odată cu viteza mult mai repede decât ar vrea șoferii.

Câți metri îi trebuie de fapt unei mașini, dacă la distanța de frânare adăugăm și clipa până când șoferul apasă pedala de frână, și de ce o mașină care merge cu viteza dublă are nevoie de o distanță de frânare de patru ori mai lungă, vom calcula în articolul următor, Frânarea și distanța de frânare.