Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Eine Straßenbahn steht an der Haltestelle, die Türen schließen sich, und die Bahn fährt mit der Beschleunigung 1 m/s² an. Jede Sekunde wird sie um 1 m/s schneller: nach der ersten Sekunde 1 m/s, nach der zweiten 2 m/s, nach der zehnten 10 m/s. Eine Bewegung auf einer Geraden, bei der die Beschleunigung konstant bleibt, nennen wir gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung. Gleichmäßig deshalb, weil die Geschwindigkeit gleichmäßig zunimmt, in jeder Sekunde um dasselbe Stück. Eine völlig konstante Beschleunigung hat keine Straßenbahn und kein Auto, aber das Anfahren an der grünen Ampel oder ein Stein, den man aus der Hand fallen lässt, kommen ihr sehr nahe.

Die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt

Wie schnell fährt die Straßenbahn nach sieben Sekunden? Du antwortest wahrscheinlich 7 m/s, und das stimmt. Die allgemeine Formel leiten wir aus der Formel für die Beschleunigung $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$ her. Die Stoppuhr starten wir in dem Moment, in dem wir die Bewegung zu beobachten beginnen, die Zeit Δt ist also einfach die Zeit t auf der Stoppuhr. Die Geschwindigkeitsänderung ist v − v₀, wobei v₀ die Anfangsgeschwindigkeit ist, die der Körper hatte, als wir die Stoppuhr gestartet haben. Wir multiplizieren beide Seiten mit der Zeit und addieren die Anfangsgeschwindigkeit:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Die Geschwindigkeit zur Zeit t ist also

$$v=v_0+a\cdot t$$

Zur ursprünglichen Geschwindigkeit kommt jede Sekunde a hinzu, in t Sekunden also a · t. Die Straßenbahn fährt aus dem Stand an, v₀ = 0 m/s, und nach zehn Sekunden fährt sie

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Meter pro Sekunde zum Quadrat mal Sekunden ergibt Meter pro Sekunde, die Einheiten stimmen. In Kilometer pro Stunde haben wir durch Multiplikation mit der Zahl 3,6 umgerechnet.

Der Geschwindigkeitsgraph ist eine Gerade

Die Formel v = v₀ + a · t sieht genauso aus wie s = s₀ + v · t, die Formel für den Weg bei konstanter Geschwindigkeit. Es ist eine lineare Funktion y = a · x + b, nur steht statt x die Zeit, statt y die Geschwindigkeit, die Steigung ist die Beschleunigung und b die Anfangsgeschwindigkeit. Der Graph der Geschwindigkeit ist deshalb eine Gerade.

Die rote Gerade gehört zur Straßenbahn, sie beginnt im Ursprung und steigt pro Sekunde um 1 m/s. Die blaue gehört zu einem Auto, das mit 10 m/s, also 36 km/h, hinter einem Traktor herzuckelt. Dem Fahrer reißt der Geduldsfaden, er gibt Gas und will den Traktor überholen. Das Auto hat jetzt die Beschleunigung 2 m/s². Sein Graph beginnt auf der senkrechten Achse in der Höhe v₀ = 10 m/s und steigt doppelt so steil wie der Graph der Straßenbahn. Die Steigung des Geschwindigkeitsgraphen ist die Beschleunigung, so wie die Steigung des Weg-Zeit-Graphen die Geschwindigkeit ist.

Der Weg ist die Fläche unter dem Graphen

Wie viele Meter legt das Auto beim Überholen zurück? Bei konstanter Geschwindigkeit steckt der Weg in der Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen. Der Graph ist dort waagerecht und die Fläche unter ihm ein Rechteck. Ergibt das auch bei einem Graphen Sinn, der ansteigt? Wir zerschneiden die Zeit in dünne Streifen, etwa in Stücke von je einer Hundertstelsekunde. In einer Hundertstelsekunde ändert sich die Geschwindigkeit des Autos nur um 0,02 m/s, in jedem Streifen fährt das Auto also fast mit konstanter Geschwindigkeit und legt so viel zurück, wie der Flächeninhalt des Streifens beträgt, Höhe mal Breite. Je dünner die Streifen, desto genauer stimmt das. Wenn wir die Wege aus allen Streifen addieren, erhalten wir die gesamte Fläche unter dem Graphen.

Unter dem Geschwindigkeitsgraphen liegt ein Trapez. Die waagerechte gestrichelte Linie zerschneidet es in ein blaues Rechteck und ein rotes Dreieck. Das blaue Rechteck ist t breit und v₀ hoch. Sein Flächeninhalt v₀ · t entspricht dem Weg, den das Auto zurücklegen würde, wenn es gar nicht beschleunigte.

Das rote Dreieck ist der Lohn fürs Beschleunigen, der zusätzliche Weg im Vergleich zur Fahrt mit der ursprünglichen Geschwindigkeit. Es ist rechtwinklig, die eine Kathete ist die Zeit t und die andere die Geschwindigkeitszunahme Δv = a · t. Ein solches Dreieck ist die Hälfte eines Rechtecks mit denselben Seiten, sein Flächeninhalt ist also

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Rechteck und Dreieck ergeben zusammen den Weg der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Wenn der Körper aus dem Stand losfährt, verschwindet das Rechteck, und es bleibt nur das Dreieck, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Die Straßenbahn legt in zehn Sekunden diesen Weg zurück:

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Die Sekunden zum Quadrat kürzen sich, und es bleiben Meter.

Es liegt eine einfachere Rechnung nahe, s = v · t mit der Endgeschwindigkeit: 10 m/s · 10 s = 100 m. Das ist doppelt so viel, denn mit 10 m/s fuhr die Straßenbahn erst ganz am Ende. Im Graphen würden wir statt des Dreiecks das ganze Rechteck messen, und das hat den doppelten Flächeninhalt.

Den Traktor überholen

Jetzt gehen wir das ganze Überholmanöver Schritt für Schritt durch. Das Auto beschleunigt fünf Sekunden lang. Wie schnell fährt es dann, und wie viele Meter legt es in der Zeit zurück? Zuerst die Angaben:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Die Einheiten sind Basiseinheiten, und die allgemeinen Formeln haben wir schon. Die Zahlen setzen wir zuerst in die Formel für die Geschwindigkeit ein:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Und in die Formel für den Weg:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Das blaue Rechteck im Bild hat also den Flächeninhalt 50 m und das rote Dreieck 25 m. Ergibt das Ergebnis Sinn? Wäre das Auto die ganze Zeit mit den ursprünglichen 10 m/s gefahren, hätte es 50 m zurückgelegt, wäre es die ganze Zeit mit der Endgeschwindigkeit von 20 m/s gefahren, hätte es 100 m zurückgelegt. Das Ergebnis liegt zwischen diesen beiden Werten. Das Auto beschleunigt in fünf Sekunden auf 72 km/h und legt 75 m zurück.

Der Traktor ist inzwischen mit 10 m/s weitergefahren und hat 50 m zurückgelegt, genau wie das blaue Rechteck. Das Auto hat dem Traktor in den fünf Sekunden also 25 m abgenommen, genau den Flächeninhalt des roten Dreiecks. Hätte der Traktor einen langen Anhänger, müsste der Fahrer länger Gas geben.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit liegt genau in der Mitte

Den Flächeninhalt des Trapezes können wir auch auf einmal berechnen: der Mittelwert der beiden parallelen Seiten mal die Höhe. Die parallelen Seiten sind hier v₀ und v, die Höhe ist die Zeit:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Den Weg können wir aber auch als Durchschnittsgeschwindigkeit mal Zeit schreiben, $s=\overline{v}\cdot t$. Deshalb gilt bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

$$\overline{v}=\frac{v_0+v}{2}.$$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit liegt genau in der Mitte zwischen der Anfangs- und der Endgeschwindigkeit. Beim Auto sind das 15 m/s, und 15 m/s · 5 s sind wieder 75 m. Das funktioniert nur, weil der Geschwindigkeitsgraph eine Gerade ist. Anderswo muss die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht in der Mitte liegen, zum Beispiel bei der Fahrt hin 60, zurück 40.

Abstände im Verhältnis 1 : 3 : 5 : 7

Wenn ein anfahrendes Auto jede Sekunde eine Markierung hinterlässt, wachsen die Abstände im Verhältnis 1:3:5:7:9. Im Geschwindigkeitsgraphen sehen wir das auf den ersten Blick.

Die Fläche unter dem Graphen der Straßenbahn haben wir in Sekundenstreifen zerschnitten, abwechselnd rot und blau. Der Flächeninhalt jedes Streifens ist der Weg, den die Straßenbahn in dieser Sekunde zurückgelegt hat. Die weißen Linien teilen die Fläche in gleiche kleine Dreiecke, jedes ist ein halbes Kästchen 1 s mal 1 m/s. Im ersten Streifen ist ein Dreieck, im zweiten drei, im dritten fünf und im vierten sieben. Jeder weitere Streifen ist um ein Kästchen höher, deshalb kommen in ihm zwei Dreiecke hinzu. Die Wege in den einzelnen Sekunden, und mit ihnen die Abstände der Markierungen, stehen im Verhältnis 1:3:5:7.

Wenn wir die Streifen addieren, erhalten wir den Weg ab dem Start: nach einer Sekunde ein Dreieck, nach zwei 1 + 3 = 4, nach drei 1 + 3 + 5 = 9, nach vier 16. Jedes Mal kommt das Quadrat der Sekundenzahl heraus, genau nach der Formel $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Eine andere Beschleunigung würde den Graphen steiler oder flacher machen, die Anzahl der kleinen Dreiecke bliebe aber gleich.

Der Weg-Zeit-Graph ist eine Parabel

Wir notieren die Wege der Straßenbahn $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ nach vollen Sekunden. In einer Sekunde legt sie 0,5 m zurück, in zwei 2 m, in drei 4,5 m, in vier 8 m und in zehn 50 m. Die doppelte Zeit ergibt den vierfachen Weg, die dreifache Zeit den neunfachen, weil die Zeit in der Formel quadriert wird.

Die Punkte liegen nicht mehr auf einer Geraden, sondern auf einer gekrümmten Linie, die Parabel heißt. Warum biegt sie sich nach oben? Die Steigung des Weg-Zeit-Graphen ist die Geschwindigkeit, und die der Straßenbahn wächst ständig. Am Anfang steht die Straßenbahn, und der Graph ist waagerecht, dann wird er immer steiler. Die graue gestrichelte Gerade ist der Graph einer Bewegung mit konstanter Durchschnittsgeschwindigkeit 5 m/s, der nach zehn Sekunden im selben Punkt endet. Die Straßenbahn liegt zuerst zurück und holt ihren Rückstand gegen Ende auf.

Ein Mathematiker sagt, dass der Weg eine quadratische Funktion der Zeit ist, weil in ihr die Zeit zum Quadrat vorkommt. Der Graph jeder quadratischen Funktion ist eine Parabel, auch beim Auto, das nicht aus dem Stand losfährt. Sein Graph $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ beginnt aber nicht waagerecht. Das Auto fährt schon am Anfang 10 m/s, und so geht der Graph gleich mit der Steigung 10 m/s vom Ursprung aus und steigt dann immer steiler an. Mehr über die Parabel findest du bei der quadratischen Funktion.

Geschwindigkeit ohne Zeit

Eine Straßenbahn beschleunigt in etwa vierzehn Sekunden auf 50 km/h. Wie viele Meter legt sie dabei zurück? Man könnte es über die Zeit berechnen, es geht aber auch ohne sie: Es gibt eine Formel, in der die Zeit gar nicht vorkommt. Aus der Formel v = v₀ + a · t drücken wir die Zeit aus, $t=\frac{v-v_0}{a}$, und setzen sie in die Formel mit der Durchschnittsgeschwindigkeit ein:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

Im Zähler multiplizieren wir die Klammern aus, und die mittleren Glieder heben sich gegenseitig auf:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Wir haben also $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Beide Seiten multiplizieren wir mit 2 · a und addieren $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Wir prüfen sie am Auto: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², und das ist tatsächlich (20 m/s)².

Die Straßenbahn fährt aus dem Stand an, also gilt v² = 2 · a · s, und der Weg ist $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Die Geschwindigkeit runden wir nicht, wir setzen sie als Bruch in die Formel ein:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Um auf Tempo 50 zu kommen, braucht die Straßenbahn fast hundert Meter Gleis.

Dieselben Formeln gelten auch fürs Bremsen, nur mit negativer Beschleunigung, wenn die positive Richtung in Fahrtrichtung zeigt. Bremst ein Auto bis zum Stillstand, ist die Endgeschwindigkeit null, und die Beziehung $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ sagt, wie viele Meter es zum Anhalten braucht. Das ist der Bremsweg, der mit der Geschwindigkeit viel schneller wächst, als es den Autofahrern lieb wäre.

Wie viele Meter ein Auto wirklich braucht, wenn wir zum Bremsweg auch die Zeit hinzurechnen, bis der Fahrer überhaupt auf die Bremse tritt, und warum ein Auto bei doppelter Geschwindigkeit einen viermal so langen Bremsweg braucht, rechnen wir im nächsten Artikel aus, Bremsen und Bremsweg.