Movimiento uniformemente acelerado

Un tranvía espera en la parada, se cierran las puertas y arranca con una aceleración de 1 m/s². Cada segundo va 1 m/s más deprisa: tras el primer segundo, a 1 m/s; tras el segundo, a 2 m/s; tras el décimo, a 10 m/s. Un movimiento en línea recta en el que la aceleración se mantiene constante se llama movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Uniformemente, porque la velocidad aumenta de manera uniforme, en la misma cantidad cada segundo. Ningún tranvía ni coche tiene una aceleración perfectamente constante, pero arrancar cuando el semáforo se pone en verde o una piedra que se suelta de la mano se le acercan mucho.

Velocidad en cualquier instante

¿A qué velocidad va el tranvía tras siete segundos? Seguramente responderás 7 m/s, y con razón. La fórmula general la deducimos de la fórmula de la aceleración $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Ponemos en marcha el cronómetro en el momento en que empezamos a observar el movimiento, así que el intervalo Δt es simplemente el tiempo t del cronómetro. La variación de velocidad es v − v₀, donde v₀ es la velocidad inicial, la que tenía el cuerpo cuando pusimos en marcha el cronómetro. Multiplicamos ambos miembros por el tiempo y sumamos la velocidad inicial:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

La velocidad en el instante t es, pues,

$$v=v_0+a\cdot t$$

A la velocidad original se le suma cada segundo a, así que en t segundos se suma a · t. El tranvía arranca desde el reposo, v₀ = 0 m/s, y tras diez segundos va a

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Metros por segundo al cuadrado multiplicados por segundos dan metros por segundo: las unidades concuerdan. Para pasar a kilómetros por hora hemos multiplicado por 3,6.

La gráfica de la velocidad es una recta

La fórmula v = v₀ + a · t se parece a s = s₀ + v · t, la fórmula de la distancia con velocidad constante. Es una función lineal y = a · x + b, solo que en lugar de x está el tiempo, en lugar de y la velocidad, la pendiente es la aceleración y b es la velocidad inicial. La gráfica de la velocidad es, por eso, una recta.

La recta roja es del tranvía: empieza en el origen y sube 1 m/s por segundo. La azul es de un coche que va despacio detrás de un tractor a 10 m/s, es decir, a 36 km/h. Al conductor se le acaba la paciencia, pisa el acelerador y quiere adelantar al tractor. Ahora el coche tiene una aceleración de 2 m/s². Su gráfica empieza en el eje vertical a una altura de v₀ = 10 m/s y tiene el doble de pendiente que la del tranvía. La pendiente de la gráfica de la velocidad es la aceleración, igual que la pendiente de la gráfica de la distancia es la velocidad.

La distancia es el área bajo la gráfica

¿Cuántos metros recorre el coche al adelantar? Con velocidad constante, la distancia está escondida en el área bajo la gráfica de la velocidad. La gráfica es allí horizontal y el área bajo ella, un rectángulo. ¿Tiene sentido también cuando la gráfica sube? Dividimos el tiempo en franjas finas, por ejemplo de una centésima de segundo. En una centésima de segundo la velocidad del coche cambia solo 0,02 m/s, así que en cada franja el coche va casi con velocidad constante y recorre tanto como el área de la franja, altura por anchura. Cuanto más finas las franjas, con mayor exactitud se cumple. Si sumamos las distancias de todas las franjas, obtenemos el área bajo toda la gráfica.

Bajo la gráfica de la velocidad hay un trapecio. La línea horizontal de trazos lo divide en un rectángulo azul y un triángulo rojo. El rectángulo azul tiene de ancho t y de alto v₀. Su área v₀ · t corresponde a la distancia que recorrería el coche si no acelerara en absoluto.

El triángulo rojo es el premio por acelerar, la distancia adicional respecto a ir con la velocidad original. Es rectángulo: un cateto es el tiempo t y el otro, el incremento de velocidad Δv = a · t. Un triángulo así es la mitad de un rectángulo con los mismos lados, así que su área es

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

El rectángulo y el triángulo juntos dan la distancia del movimiento uniformemente acelerado:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Cuando el cuerpo parte del reposo, el rectángulo desaparece y solo queda el triángulo, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. El tranvía recorre en diez segundos

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Los segundos al cuadrado se simplifican y quedan metros.

Tienta un cálculo más sencillo, s = v · t con la velocidad final: 10 m/s · 10 s = 100 m. Es el doble, porque el tranvía iba a 10 m/s solo en el último instante. En la gráfica, en lugar del triángulo habríamos medido el rectángulo entero, y este tiene el doble de área.

Adelantar a un tractor

Ahora recorremos todo el adelantamiento paso a paso. El coche acelera durante cinco segundos. ¿A qué velocidad irá entonces y cuántos metros habrá recorrido mientras tanto? Primero los datos:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Las unidades son las básicas y las fórmulas generales ya las tenemos. Primero sustituimos los números en la fórmula de la velocidad:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Y en la fórmula de la distancia:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

El rectángulo azul de la figura tiene, por tanto, un área de 50 m y el triángulo rojo, de 25 m. ¿Tiene sentido el resultado? Si el coche fuera todo el tiempo a la velocidad original de 10 m/s, recorrería 50 m; si fuera todo el tiempo a la velocidad final de 20 m/s, recorrería 100 m. El resultado queda entre esos dos valores. En cinco segundos el coche acelera hasta 72 km/h y recorre 75 m.

Mientras tanto, el tractor ha seguido a 10 m/s y ha recorrido 50 m, igual que el rectángulo azul. Así, en cinco segundos el coche le ha sacado al tractor 25 m, justo el área del triángulo rojo. Si el tractor llevara un remolque largo, el conductor tendría que acelerar más tiempo.

La velocidad media está justo en el medio

El área del trapecio también se puede calcular de una vez: la media de los dos lados paralelos por la altura. Los lados paralelos son aquí v₀ y v, y la altura es el tiempo:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Pero la distancia también sabemos escribirla como velocidad media por tiempo, s = v_m · t. Por eso, en el movimiento uniformemente acelerado se cumple

$$v_m=\frac{v_0+v}{2}.$$

La velocidad media está justo en el medio entre la inicial y la final. En el coche son 15 m/s y 15 m/s · 5 s vuelve a ser 75 m. Funciona solo porque la gráfica de la velocidad es una recta. En otros casos la velocidad media no tiene por qué quedar en el medio, por ejemplo en el viaje de ida a 60, vuelta a 40.

Separaciones 1 : 3 : 5 : 7

Cuando un coche que arranca deja una marca cada segundo, las separaciones crecen en la proporción 1:3:5:7:9. En la gráfica de la velocidad se ve a primera vista.

Hemos dividido el área bajo la gráfica del tranvía en franjas de un segundo, alternando rojas y azules. El área de cada franja es la distancia que el tranvía recorrió durante ese segundo. Las líneas blancas dividen el área en triangulitos iguales, cada uno la mitad de un cuadradito de 1 s por 1 m/s. En la primera franja hay un triangulito, en la segunda tres, en la tercera cinco y en la cuarta siete. Cada franja siguiente es un cuadradito más alta y por eso en ella se añaden dos triangulitos. Las distancias de cada segundo, y con ellas las separaciones de las marcas, están en la proporción 1:3:5:7.

Si vamos sumando las franjas, obtenemos la distancia desde la salida: tras un segundo, un triangulito; tras dos, 1 + 3 = 4; tras tres, 1 + 3 + 5 = 9; tras cuatro, 16. Cada vez sale el cuadrado del número de segundos, exactamente como dice la fórmula $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Otra aceleración haría la gráfica más empinada o más plana, pero el número de triangulitos seguiría siendo el mismo.

La gráfica de la distancia es una parábola

Anotamos las distancias del tranvía $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ en segundos enteros. En un segundo recorre 0,5 m, en dos 2 m, en tres 4,5 m, en cuatro 8 m y en diez 50 m. El doble de tiempo da una distancia cuatro veces mayor, el triple de tiempo, nueve veces mayor, porque en la fórmula el tiempo está elevado al cuadrado.

Los puntos ya no están sobre una recta, sino sobre una línea curva llamada parábola. ¿Por qué se curva hacia arriba? La pendiente de la gráfica de la distancia es la velocidad, y la del tranvía crece sin cesar. Al principio el tranvía está parado y la gráfica es horizontal; luego es cada vez más empinada. La recta gris de trazos es la gráfica de un movimiento con velocidad media constante de 5 m/s, que en diez segundos acaba en el mismo punto. El tranvía primero se queda atrás y hacia el final recupera su pérdida.

Un matemático diría que la distancia es una función cuadrática del tiempo, porque en ella aparece el tiempo al cuadrado. La gráfica de toda función cuadrática es una parábola, también en el caso del coche, que no arranca desde el reposo. Su gráfica $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$, sin embargo, no empieza horizontal. El coche ya al principio va a 10 m/s, y por eso la gráfica sale del origen con una pendiente de 10 m/s y luego se empina cada vez más. Encontrarás más sobre la parábola en función cuadrática.

Velocidad sin tiempo

Un tranvía alcanza los 50 km/h en unos catorce segundos. ¿Cuántos metros recorre mientras tanto? Se podría calcular a través del tiempo, pero también se puede sin él: existe una fórmula en la que el tiempo no aparece en absoluto. De la fórmula v = v₀ + a · t despejamos el tiempo, $t=\frac{v-v_0}{a}$, y lo introducimos en la fórmula con la velocidad media:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

En el numerador desarrollamos los paréntesis y los términos centrales se anulan entre sí:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Tenemos, pues, $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Multiplicamos ambos miembros por 2 · a y sumamos $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Lo comprobamos con el coche: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², y eso es efectivamente (20 m/s)².

El tranvía arranca desde el reposo, así que v² = 2 · a · s y la distancia es $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. No redondeamos la velocidad; la introducimos en la fórmula como fracción:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Para llegar a cincuenta por hora, el tranvía se come casi cien metros de vía.

Las mismas fórmulas valen para el frenado, solo que con aceleración negativa si se toma como positivo el sentido de la marcha. Si el coche frena hasta detenerse, la velocidad final es cero y la relación $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ nos dice cuántos metros necesita para pararse. Esa es la distancia de frenado, que crece con la velocidad mucho más deprisa de lo que les gustaría a los conductores.

Cuántos metros necesita realmente un coche cuando a la distancia de frenado le añadimos también el instante que pasa hasta que el conductor llega siquiera a pisar el freno, y por qué un coche al doble de velocidad necesita una distancia de frenado cuatro veces mayor, lo calcularemos en el siguiente artículo, Frenado y distancia de frenado.