Düzgün Hızlanan Hareket

Tramvay durakta duruyor, kapılar kapanıyor ve tramvay 1 m/s² ivmeyle hareket ediyor. Her saniye 1 m/s daha hızlı gidiyor: birinci saniyeden sonra 1 m/s, ikinciden sonra 2 m/s, onuncudan sonra 10 m/s. İvmenin sabit kaldığı doğrusal harekete düzgün hızlanan doğrusal hareket deriz. Düzgün denmesinin nedeni, hızın düzgün artması, yani her saniye aynı miktarda eklenmesidir. Hiçbir tramvayın ya da arabanın ivmesi tam anlamıyla sabit değildir, ama yeşil ışıkta kalkış ya da elinden bırakılan taş buna çok yakındır.

Herhangi Bir Andaki Hız

Tramvay yedi saniye sonra ne kadar hızlı gider? Muhtemelen 7 m/s diyeceksin ve haklısın. Genel formülü $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$ ivme formülünden çıkarırız. Kronometreyi hareketi izlemeye başladığımız anda çalıştırırız, yani Δt süresi kronometredeki t süresidir. Hızdaki değişim v − v₀’dır, burada v₀, kronometreyi çalıştırdığımızda cismin sahip olduğu ilk hızdır. İki tarafı süreyle çarpar ve ilk hızı ekleriz:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

t anındaki hız bu durumda

$$v=v_0+a\cdot t$$

İlk hıza her saniye a eklenir, t saniyede de a · t. Tramvay durgun hâlden harekete geçiyor, v₀ = 0 m/s, ve on saniye sonraki hızı şudur:

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Metre bölü saniye kareyi saniyeyle çarpınca saniyede metre çıkar, birimler uyuyor. Saatte kilometreye 3,6 sayısıyla çarparak çevirdik.

Hız Grafiği Bir Doğrudur

v = v₀ + a · t formülü, sabit sürat için yol formülü olan s = s₀ + v · t ile aynı görünür. Bu bir doğrusal fonksiyondur, y = a · x + b; yalnızca x yerine zaman, y yerine hız vardır, eğim ivmedir ve b ilk hızdır. Hız grafiği bu yüzden bir doğrudur.

Kırmızı doğru tramvaya ait, başlangıç noktasından başlıyor ve saniyede 1 m/s yükseliyor. Mavi doğru, traktörün arkasında 10 m/s, yani 36 km/h ile sürünen arabaya ait. Sürücünün sabrı tükenir, gaza basar ve traktörü geçmek ister. Arabanın ivmesi artık 2 m/s²’dir. Grafiği düşey eksende v₀ = 10 m/s yüksekliğinden başlar ve tramvayın grafiğinden iki kat dik yükselir. Hız grafiğinin dikliği ivmedir, tıpkı yol grafiğinin dikliğinin sürat olması gibi.

Yol, Grafiğin Altındaki Alandır

Araba geçiş sırasında kaç metre gider? Sabit hızda yol, hız grafiğinin altındaki alanda saklıdır. Grafik orada yataydır ve altındaki alan bir dikdörtgendir. Peki bu, yükselen bir grafik için de anlamlı mı? Zamanı ince şeritlere, örneğin saniyenin yüzde birine bölelim. Saniyenin yüzde birinde arabanın hızı yalnızca 0,02 m/s değişir, yani her şeritte araba neredeyse sabit hızla gider ve aldığı yol şeridin alanı kadardır, yükseklik çarpı genişlik. Şeritler ne kadar inceyse bu o kadar kesin geçerlidir. Bütün şeritlerin yollarını toplarsak grafiğin altındaki alanın tamamını elde ederiz.

Hız grafiğinin altında bir yamuk vardır. Yatay kesikli çizgi onu mavi bir dikdörtgene ve kırmızı bir üçgene ayırır. Mavi dikdörtgenin genişliği t, yüksekliği v₀’dır. Alanı v₀ · t, araba hiç hızlanmasaydı alacağı yola karşılık gelir.

Kırmızı üçgen hızlanmanın ödülüdür, ilk hızla gitmeye göre fazladan alınan yol. Dik üçgendir, bir dik kenarı t süresi, öteki Δv = a · t hız artışıdır. Böyle bir üçgen, kenarları aynı olan dikdörtgenin yarısıdır, dolayısıyla alanı

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Dikdörtgenle üçgen birlikte düzgün hızlanan hareketin yolunu verir:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Cisim durgun hâlden harekete geçerse dikdörtgen yok olur ve yalnızca üçgen kalır, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Tramvayın on saniyede aldığı yol:

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Saniye kareler sadeleşir ve metre kalır.

Daha basit bir hesap akla gelir, son hızla s = v · t: 10 m/s · 10 s = 100 m. Bu iki kat fazladır, çünkü tramvay 10 m/s hızla ancak en sonda gitti. Grafikte üçgenin yerine bütün dikdörtgeni ölçmüş olurduk ve onun alanı iki kat büyüktür.

Traktörü Geçmek

Şimdi bütün geçişi adım adım inceleyelim. Araba beş saniye hızlanıyor. Sonra ne kadar hızlı gider ve bu arada kaç metre alır? Önce verilenler:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Birimler temel birimler ve genel formüller zaten elimizde. Önce sayıları hız formülüne yerleştirelim:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Sonra yol formülüne:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Yani şekildeki mavi dikdörtgenin alanı 50 m, kırmızı üçgenin alanı 25 m’dir. Sonuç mantıklı mı? Araba bütün süre boyunca ilk 10 m/s ile gitseydi 50 m, bütün süre boyunca son 20 m/s ile gitseydi 100 m alırdı. Sonuç bu iki değerin arasında. Araba beş saniyede 72 km/h’ye hızlanır ve 75 m yol alır.

Traktör bu arada 10 m/s ile devam etti ve mavi dikdörtgen kadar, 50 m gitti. Araba böylece beş saniyede traktörü 25 m geçti, tam kırmızı üçgenin alanı kadar. Traktör uzun bir römork çekseydi sürücü daha uzun süre gaza basmak zorunda kalırdı.

Ortalama Sürat Tam Ortadadır

Yamuğun alanını tek seferde de hesaplayabiliriz: paralel kenarların ortalaması çarpı yükseklik. Paralel kenarlar burada v₀ ve v, yükseklik zamandır:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Ama yolu ortalama sürat çarpı zaman olarak da yazabiliriz, s = v_ort · t. Bu yüzden düzgün hızlanan harekette şu geçerlidir:

$$v_{\mathrm{ort}}=\frac{v_0+v}{2}.$$

Ortalama sürat, ilk ve son süratin tam ortasında yer alır. Araba için bu 15 m/s’dir ve 15 m/s · 5 s yine 75 m eder. Bu yalnızca hız grafiği bir doğru olduğu için işler. Başka yerde ortalama sürat ortada olmak zorunda değildir, örneğin gidişte 60, dönüşte 40 olan yolda.

1 : 3 : 5 : 7 Aralıkları

Hızlanarak kalkan araba her saniye bir işaret bırakırsa, aralıklar 1:3:5:7:9 oranında büyür. Bunu hız grafiğinde bir bakışta görürüz.

Tramvayın grafiğinin altındaki alanı birer saniyelik, sırayla kırmızı ve mavi şeritlere böldük. Her şeridin alanı, tramvayın o saniye içinde aldığı yoldur. Beyaz çizgiler alanı eş küçük üçgenlere böler, her biri kenarları 1 s ve 1 m/s olan küçük karenin yarısıdır. Birinci şeritte bir küçük üçgen, ikincide üç, üçüncüde beş, dördüncüde yedi vardır. Her sonraki şerit bir kare daha yüksektir ve bu yüzden içine iki küçük üçgen daha girer. Tek tek saniyelerdeki yollar, onlarla birlikte işaretlerin aralıkları, 1:3:5:7 oranındadır.

Şeritleri toplarsak hareketin başından itibaren alınan yolu buluruz: bir saniye sonra bir küçük üçgen, iki saniye sonra 1 + 3 = 4, üç saniye sonra 1 + 3 + 5 = 9, dört saniye sonra 16. Her seferinde saniye sayısının karesi çıkar, tam olarak $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ formülünün dediği gibi. Başka bir ivme grafiği daha dik ya da daha yatık yapardı, küçük üçgenlerin sayısı ise aynı kalırdı.

Yol Grafiği Bir Paraboldür

Tramvayın $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ yollarını tam saniyeler için yazalım. Bir saniyede 0,5 m, ikide 2 m, üçte 4,5 m, dörtte 8 m ve onda 50 m gider. İki kat uzun süre dört kat uzun yol, üç kat uzun süre dokuz kat uzun yol verir, çünkü formülde zamanın karesi alınır.

Noktalar artık bir doğru üzerinde değil, parabol denen eğri bir çizgi üzerinde yer alır. Neden yukarı doğru bükülür? Yol grafiğinin dikliği sürattir ve tramvayın sürati durmadan artar. Başta tramvay duruyor ve grafik yatay, sonra gittikçe dikleşir. Gri kesikli doğru, on saniye sonra aynı noktada biten, sabit 5 m/s ortalama süratle hareketin grafiğidir. Tramvay önce geride kalır, sona doğru kaybını telafi eder.

Matematikçi, yolun zamanın ikinci dereceden fonksiyonu olduğunu söyler, çünkü içinde zamanın karesi vardır. Her ikinci dereceden fonksiyonun grafiği paraboldür, durgun hâlden harekete geçmeyen araba için de. Onun grafiği $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ ise yatay başlamaz. Araba başta zaten 10 m/s ile gidiyor ve bu yüzden grafik başlangıç noktasından hemen 10 m/s dikliğiyle çıkar, sonra gittikçe daha dik yükselir. Parabol hakkında daha fazlasını ikinci dereceden fonksiyonda bulabilirsin.

Zamansız Hız

Tramvay 50 km/h’ye yaklaşık on dört saniyede çıkar. Bu arada kaç metre gider? Bunu zaman üzerinden hesaplayabiliriz, ama onsuz da olur: içinde zamanın hiç geçmediği bir formül var. v = v₀ + a · t formülünden zamanı çekeriz, $t=\frac{v-v_0}{a}$, ve ortalama süratli formüle koyarız:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

Payın parantezlerini çarparız ve ortadaki terimler birbirini yok eder:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Yani $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$ olur. İki tarafı 2 · a ile çarpar ve $v_0^2$ ekleriz:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Arabada deneyelim: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s² ve bu gerçekten (20 m/s)²’dir.

Tramvay durgun hâlden harekete geçer, yani v² = 2 · a · s ve yol $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$ olur. Hızı yuvarlamayacağız, formüle kesir olarak koyacağız:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Tramvay 50’ye çıkmak için yaklaşık yüz metre ray kullanır.

Aynı formüller frenleme için de işler, yalnızca pozitif yön gidiş yönünde olduğunda ivme negatif alınır. Araba durana kadar fren yapıyorsa son hız sıfırdır ve $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ bağıntısı, durmak için kaç metre gerektiğini söyler. Bu, hızla birlikte sürücülerin istemeyeceği kadar çabuk büyüyen fren mesafesidir.

Fren mesafesine, sürücünün frene basmadan önce geçen anı da eklersek arabanın gerçekte kaç metreye ihtiyaç duyduğunu ve iki kat hızdan gelen arabanın neden dört kat uzun fren mesafesine ihtiyaç duyduğunu bir sonraki yazıda hesaplayacağız, Frenleme ve Fren Mesafesi.