Bevegelse med konstant akselerasjon

En trikk står på holdeplassen, dørene lukkes og trikken kommer i gang med akselerasjonen 1 m/s². Hvert sekund kjører den 1 m/s fortere: etter det første sekundet 1 m/s, etter det andre 2 m/s, etter det tiende 10 m/s. En bevegelse langs en rett linje der akselerasjonen er konstant, kaller vi rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon. Konstant akselerasjon betyr at farten øker jevnt, like mye hvert sekund. Ingen trikk og ingen bil har helt konstant akselerasjon, men en bil som starter på grønt lys, eller en stein som slippes fra hånden kommer svært nær.

Fart ved et hvilket som helst tidspunkt

Hvor fort kjører trikken etter sju sekunder? Du svarer sikkert 7 m/s, og det er riktig. Den generelle formelen utleder vi fra formelen for akselerasjon $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ . Vi setter i gang stoppeklokka i det øyeblikket vi begynner å følge bevegelsen, så tiden Δt er rett og slett tiden t på stoppeklokka. Endringen i fart er v − v₀, der v₀ er startfarten, farten legemet hadde da vi startet stoppeklokka. Vi multipliserer begge sider med tiden og legger til startfarten:

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{v - v_{0}}{t} / \cdot t \\ a \cdot t & = & v - v_{0} / + v_{0} \\ v_{0} + a \cdot t & = & v \end{array}$

Farten ved tiden t er altså

$v = v_{0} + a \cdot t$

Til den opprinnelige farten legges det hvert sekund a, på t sekunder altså a · t. Trikken starter fra ro, v₀ = 0 m/s, og etter ti sekunder kjører den

$v = 1 {m / s}^{2} \cdot 10 s = 10 m / s = 36 km / h .$

Meter per sekund i andre multiplisert med sekunder gir meter per sekund, enhetene stemmer. Til kilometer i timen regnet vi om ved å multiplisere med tallet 3,6.

Fartsgrafen er en rett linje

Formelen v = v₀ + a · t ser lik ut som s = s₀ + v · t, formelen for strekning ved konstant fart. Det er en lineær funksjon y = a · x + b, bare at tiden står i stedet for x, farten i stedet for y, stigningstallet er akselerasjonen og b er startfarten. Grafen for farten er derfor en rett linje.

Fartsgraf for trikken som kommer i gang fra ro (rødt), og for bilen som har startfarten v_0 og større akselerasjon (blått)

Den røde linjen hører til trikken, den begynner i origo og stiger 1 m/s per sekund. Den blå hører til bilen som kryper bak en traktor med farten 10 m/s, altså 36 km/h. Sjåføren mister tålmodigheten, gir gass og vil kjøre forbi traktoren. Bilen har nå akselerasjonen 2 m/s². Grafen begynner på den loddrette aksen i høyden v₀ = 10 m/s og stiger dobbelt så bratt som grafen til trikken. Stigningstallet til fartsgrafen er akselerasjonen, slik stigningstallet til strekningsgrafen er farten.

Strekning er arealet under grafen

Hvor mange meter kjører bilen under forbikjøringen? Ved konstant fart er strekningen skjult i arealet under fartsgrafen. Der er grafen vannrett og arealet under den et rektangel. Gir det mening også for en graf som stiger? Vi deler tiden opp i tynne striper, for eksempel på en hundredel av et sekund. På en hundredel av et sekund endrer farten til bilen seg bare med 0,02 m/s, så i hver stripe kjører bilen med nesten konstant fart og kommer like langt som arealet av stripen, høyde ganger bredde. Jo tynnere stripene er, desto nøyaktigere stemmer det. Når vi legger sammen strekningene fra alle stripene, får vi hele arealet under grafen.

Arealet under fartsgrafen til bilen er et trapes delt i et rektangel (blått) og en trekant (rødt). Til venstre startfarten v_0, til høyre økningen i fart Δv

Under fartsgrafen er det et trapes. Den vannrette stiplede linjen skjærer det i et blått rektangel og en rød trekant. Det blå rektangelet er t bredt og v₀ høyt. Arealet v₀ · t svarer til strekningen bilen ville kjørt hvis den ikke hadde akselerert i det hele tatt.

Den røde trekanten er belønningen for å akselerere, den ekstra strekningen sammenlignet med å kjøre med den opprinnelige farten. Den er rettvinklet, den ene kateten er tiden t og den andre økningen i fart Δv = a · t. En slik trekant er halvparten av et rektangel med de samme sidene, så arealet er

$\frac{1}{2} \cdot t \cdot a \cdot t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} .$

Rektangelet og trekanten gir sammen strekningen ved bevegelse med konstant akselerasjon:

$s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$

Når legemet starter fra ro, forsvinner rektangelet og bare trekanten blir igjen, $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ . Trikken kjører på ti sekunder

$s = \frac{1}{2} \cdot 1 {m / s}^{2} \cdot (10 s)^{2} = 50 m .$

Sekundene i andre forkortes, og meter blir igjen.

En enklere utregning ligger nær, s = v · t med sluttfarten: 10 m/s · 10 s = 100 m. Det er dobbelt så mye, for 10 m/s hadde trikken først helt på slutten. I grafen ville vi i stedet for trekanten målt hele rektangelet, og det har dobbelt så stort areal.

Forbikjøring av traktoren

Nå går vi gjennom hele forbikjøringen steg for steg. Bilen akselererer i fem sekunder. Hvor fort kjører den da, og hvor mange meter har den kommet i mellomtiden? Først oppgaven:

$\begin{aligned} v_{0} & = 10 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ t & = 5 s \\ v & = ?, s = ? \end{aligned}$

Enhetene er grunnenheter, og de generelle formlene har vi allerede. Tallene setter vi først inn i formelen for fart:

$v = 10 m / s + 2 {m / s}^{2} \cdot 5 s = 20 m / s = 72 km / h$

Og i formelen for strekning:

$\begin{aligned} s & = 10 m / s \cdot 5 s + \frac{1}{2} \cdot 2 {m / s}^{2} \cdot (5 s)^{2} \\ = 50 m + 25 m = 75 m \end{aligned}$

Det blå rektangelet på bildet har altså arealet 50 m og den røde trekanten 25 m. Gir resultatet mening? Hvis bilen kjørte hele tiden med den opprinnelige farten 10 m/s, ville den kommet 50 m, og hvis den kjørte hele tiden med sluttfarten 20 m/s, ville den kommet 100 m. Resultatet ligger mellom disse to verdiene. På fem sekunder øker bilen farten til 72 km/h og kommer 75 m.

Traktoren fortsatte i mellomtiden med farten 10 m/s og kom 50 m, som det blå rektangelet. Bilen kom altså 25 m lenger enn traktoren på fem sekunder, akkurat arealet av den røde trekanten. Hvis traktoren hadde dratt en lang tilhenger, måtte sjåføren gitt gass lenger.

Gjennomsnittsfarten ligger midt imellom

Arealet av trapeset klarer vi også å regne ut i ett jafs: gjennomsnittet av de to parallelle sidene ganger høyden. De parallelle sidene er her v₀ og v, høyden er tiden:

$s = \frac{v_{0} + v}{2} \cdot t$

Strekningen kan vi imidlertid også skrive som gjennomsnittsfart ganger tid, $s = \bar{v} \cdot t$ . Derfor gjelder ved bevegelse med konstant akselerasjon

$\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} .$

Gjennomsnittsfarten ligger nøyaktig midt mellom start- og sluttfarten. For bilen er det 15 m/s, og 15 m/s · 5 s er igjen 75 m. Det fungerer bare fordi fartsgrafen er en rett linje. Andre steder trenger ikke gjennomsnittsfarten ligge midt imellom, for eksempel ved turen fram 60, tilbake 40.

Avstander 1 : 3 : 5 : 7

Når en bil som kommer i gang, etterlater et merke hvert sekund, vokser avstandene i forholdet 1:3:5:7:9. I fartsgrafen ser vi det med én gang.

Trekanten under fartsgrafen til trikken i fire sekunder, delt i striper på ett sekund og like små trekanter: i stripene er det etter hverandre 1, 3, 5 og 7

Arealet under grafen til trikken har vi delt i sekundstriper, vekselvis røde og blå. Arealet av hver stripe er strekningen trikken kom i løpet av det sekundet. De hvite linjene deler arealet i like små trekanter, hver er halvparten av en rute på 1 s ganger 1 m/s. I den første stripen er det én liten trekant, i den andre tre, i den tredje fem og i den fjerde sju. Hver stripe er en rute høyere enn den forrige, og derfor kommer det to små trekanter til i den. Strekningene i løpet av de enkelte sekundene, og med dem avstandene mellom merkene, er i forholdet 1:3:5:7.

Når vi legger sammen stripene, får vi strekningen fra start: etter ett sekund én liten trekant, etter to 1 + 3 = 4, etter tre 1 + 3 + 5 = 9, etter fire 16. Hver gang blir det kvadratet av antall sekunder, nøyaktig i samsvar med formelen $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ . En annen akselerasjon ville gjort grafen brattere eller flatere, men antallet små trekanter ville vært det samme.

Strekningsgrafen er en parabel

Vi skriver opp strekningene til trikken $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ etter hele sekunder. På ett sekund kommer den 0,5 m, på to 2 m, på tre 4,5 m, på fire 8 m og på ti 50 m. Dobbelt så lang tid gir fire ganger så lang strekning, tre ganger så lang tid ni ganger så lang strekning, fordi tiden i formelen er opphøyd i andre.

Strekningsgrafen til trikken er en parabel (rødt), oransje punkter ved hele sekunder. Den grå stiplede linjen hører til en bevegelse med konstant gjennomsnittsfart

Punktene ligger ikke lenger på en rett linje, men på en krum linje som kalles parabel. Hvorfor bøyer den seg oppover? Stigningstallet til strekningsgrafen er farten, og den vokser hele tiden for trikken. I begynnelsen står trikken stille og grafen er vannrett, så blir den stadig brattere. Den grå stiplede linjen er grafen for en bevegelse med konstant gjennomsnittsfart 5 m/s, som etter ti sekunder ender i det samme punktet. Trikken ligger først etter, mot slutten henter den inn tapet.

En matematiker sier at strekningen er en andregradsfunksjon av tiden, fordi tiden inngår i andre potens. Grafen til hver andregradsfunksjon er en parabel, også for bilen som ikke starter fra ro. Grafen $s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ begynner imidlertid ikke vannrett. Bilen kjører allerede 10 m/s i begynnelsen, og grafen går derfor ut fra origo med en gang med stigningstallet 10 m/s og løfter seg så stadig brattere. Mer om parabelen finner du under andregradsfunksjoner.

Fart uten tid

Trikken øker farten til 50 km/h på omtrent fjorten sekunder. Hvor mange meter kommer den på den tiden? Det kunne regnes ut via tiden, men det går også uten: det finnes en formel der tiden ikke inngår. Fra formelen v = v₀ + a · t løser vi ut tiden, $t = \frac{v - v_{0}}{a}$ , og setter den inn i formelen med gjennomsnittsfarten:

$\begin{aligned} s & = \frac{v + v_{0}}{2} \cdot \frac{v - v_{0}}{a} \\ = \frac{(v + v_{0}) \cdot (v - v_{0})}{2 \cdot a} \end{aligned}$

I telleren ganger vi ut parentesene, og de midterste leddene går ut mot hverandre:

$\begin{aligned} (v + v_{0}) \cdot (v - v_{0}) & = v^{2} - v \cdot v_{0} + v_{0} \cdot v - v_{0}^{2} \\ = v^{2} - v_{0}^{2} \end{aligned}$

Vi har altså $s = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 \cdot a}$ . Begge sider multipliserer vi med 2 · a og legger til $v_{0}^{2}$ :

$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot s$

Vi kontrollerer den på bilen: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², og det er virkelig (20 m/s)².

Trikken starter fra ro, så v² = 2 · a · s og strekningen er $s = \frac{v^{2}}{2 \cdot a}$ . Farten runder vi ikke av, vi setter den inn i formelen som brøk:

$\begin{aligned} s & = \frac{{(\frac{50}{3, 6} m / s)}^{2}}{2 \cdot 1 {m / s}^{2}} \\ \approx 96 m \end{aligned}$

For å komme opp i femti trenger trikken nesten hundre meter skinner.

De samme formlene fungerer også for bremsing, bare med negativ akselerasjon når positiv retning peker i kjøreretningen. Når bilen bremser helt til den stopper, er sluttfarten null, og sammenhengen $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot s$ sier hvor mange meter den trenger for å stoppe. Det er bremselengden, som vokser med farten mye raskere enn sjåfører liker.

Hvor mange meter bilen virkelig trenger når vi legger til også tiden før sjåføren i det hele tatt tråkker på bremsen, og hvorfor en bil med dobbelt så stor fart trenger fire ganger så lang bremselengde, regner vi ut i neste artikkel, Bremsing og bremselengde.

« Forrige: Akselerasjon

Neste: Bremsing og bremselengde »