Mouvement rectiligne uniformément accéléré

Un tramway est arrêté à la station, les portes se ferment et le tramway démarre avec une accélération de 1 m/s². À chaque seconde, il roule plus vite de 1 m/s : après la première seconde à 1 m/s, après la deuxième à 2 m/s, après la dixième à 10 m/s. Un mouvement sur une droite pendant lequel l’accélération reste constante s’appelle un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Uniformément, parce que la vitesse augmente de façon régulière, de la même quantité à chaque seconde. Aucun tramway ni aucune voiture n’a une accélération parfaitement constante, mais un démarrage au feu vert ou une pierre qu’on lâche en sont très proches.

La vitesse à n’importe quel instant

À quelle vitesse roule le tramway au bout de sept secondes ? Tu réponds sans doute 7 m/s et tu as raison. Nous déduisons la formule générale de la formule de l’accélération $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Nous déclenchons le chronomètre au moment où nous commençons à observer le mouvement, donc la durée Δt est simplement le temps t du chronomètre. La variation de vitesse est v − v₀, où v₀ est la vitesse initiale que le corps avait quand nous avons lancé le chronomètre. Nous multiplions les deux côtés par le temps et nous ajoutons la vitesse initiale :

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

La vitesse à l’instant t est donc

$$v=v_0+a\cdot t$$

À la vitesse initiale s’ajoute a à chaque seconde, donc a · t en t secondes. Le tramway part de l’arrêt, v₀ = 0 m/s, et au bout de dix secondes il roule à

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Des mètres par seconde au carré multipliés par des secondes donnent des mètres par seconde, les unités sont cohérentes. Pour passer aux kilomètres par heure, nous avons multiplié par le nombre 3,6.

Le graphique de la vitesse est une droite

La formule v = v₀ + a · t ressemble à d = d₀ + v · t, la formule de la distance à vitesse constante. C’est une fonction affine y = a · x + b, sauf qu’à la place de x il y a le temps, à la place de y la vitesse, que le coefficient directeur est l’accélération et que l’ordonnée à l’origine b est la vitesse initiale. Le graphique de la vitesse est donc une droite.

La droite rouge est celle du tramway, elle part de l’origine et monte de 1 m/s par seconde. La bleue est celle d’une voiture qui traîne derrière un tracteur à 10 m/s, donc 36 km/h. Le conducteur perd patience, appuie sur l’accélérateur et veut doubler le tracteur. La voiture a maintenant une accélération de 2 m/s². Son graphique part de l’axe vertical à la hauteur v₀ = 10 m/s et monte avec une pente deux fois plus forte que celui du tramway. La pente du graphique de la vitesse est l’accélération, de même que la pente du graphique de la distance est la vitesse.

La distance est l’aire sous le graphique

Combien de mètres la voiture parcourt-elle pendant le dépassement ? À vitesse constante, la distance se cache dans l’aire sous le graphique de la vitesse. Le graphique y est horizontal et l’aire en dessous est un rectangle. Cela a-t-il un sens aussi pour un graphique qui monte ? Nous découpons le temps en fines bandes, par exemple d’un centième de seconde. En un centième de seconde, la vitesse de la voiture ne change que de 0,02 m/s, donc dans chaque bande la voiture roule à une vitesse presque constante et parcourt une distance égale à l’aire de la bande, la hauteur fois la largeur. Plus les bandes sont fines, plus c’est exact. Quand nous additionnons les distances de toutes les bandes, nous obtenons toute l’aire sous le graphique.

Sous le graphique de la vitesse, il y a un trapèze. La ligne horizontale en pointillés le coupe en un rectangle bleu et un triangle rouge. Le rectangle bleu a pour largeur t et pour hauteur v₀. Son aire v₀ · t correspond à la distance que la voiture parcourrait si elle n’accélérait pas du tout.

Le triangle rouge est la récompense de l’accélération, la distance en plus par rapport à un trajet à la vitesse d’origine. Il est rectangle, un côté de l’angle droit est le temps t et l’autre l’augmentation de vitesse Δv = a · t. Un tel triangle est la moitié d’un rectangle de mêmes côtés, donc son aire est

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Le rectangle et le triangle ensemble donnent la distance du mouvement uniformément accéléré :

$$d=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Quand le corps part de l’arrêt, le rectangle disparaît et il ne reste que le triangle, $d=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. En dix secondes, le tramway parcourt

$$d=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Les secondes au carré se simplifient et il reste des mètres.

On pourrait être tenté par un calcul plus simple, d = v · t avec la vitesse finale : 10 m/s · 10 s = 100 m. C’est deux fois plus, parce que le tramway n’a roulé à 10 m/s que tout à la fin. Dans le graphique, nous mesurerions à la place du triangle tout le rectangle, dont l’aire est double.

Le dépassement du tracteur

Reprenons maintenant tout le dépassement pas à pas. La voiture accélère pendant cinq secondes. À quelle vitesse roulera-t-elle ensuite et combien de mètres aura-t-elle parcourus entre-temps ? D’abord les données :

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,d=?\end{array}$$

Les unités sont les unités de base et nous avons déjà les formules générales. Nous remplaçons d’abord les nombres dans la formule de la vitesse :

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Puis dans la formule de la distance :

$$\begin{array}{rl}d& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Le rectangle bleu de la figure a donc pour aire 50 m et le triangle rouge 25 m. Le résultat est-il plausible ? Si la voiture roulait tout le temps à la vitesse initiale de 10 m/s, elle parcourrait 50 m, si elle roulait tout le temps à la vitesse finale de 20 m/s, elle parcourrait 100 m. Le résultat se trouve entre ces deux valeurs. En cinq secondes, la voiture accélère jusqu’à 72 km/h et parcourt 75 m.

Le tracteur a continué entre-temps à 10 m/s et a parcouru 50 m, comme le rectangle bleu. En cinq secondes, la voiture a donc gagné 25 m sur le tracteur, exactement l’aire du triangle rouge. Si le tracteur tirait une longue remorque, le conducteur devrait accélérer plus longtemps.

La vitesse moyenne est exactement au milieu

Nous pouvons aussi calculer l’aire du trapèze d’un seul coup : la moyenne des deux côtés parallèles fois la hauteur. Les côtés parallèles sont ici v₀ et v, la hauteur est le temps :

$$d=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Mais nous savons aussi écrire la distance comme la vitesse moyenne fois le temps, d = v_m · t. C’est pourquoi, pour un mouvement uniformément accéléré,

$$v_m=\frac{v_0+v}{2}.$$

La vitesse moyenne se trouve exactement au milieu entre la vitesse initiale et la vitesse finale. Pour la voiture, cela fait 15 m/s et 15 m/s · 5 s fait de nouveau 75 m. Cela ne marche que parce que le graphique de la vitesse est une droite. Ailleurs, la vitesse moyenne n’est pas forcément au milieu, par exemple pour le trajet à l’aller 60, au retour 40.

Écarts 1 : 3 : 5 : 7

Quand une voiture qui démarre laisse un repère à chaque seconde, les écarts augmentent dans le rapport 1:3:5:7:9. Dans le graphique de la vitesse, on le voit au premier coup d’œil.

Nous avons découpé l’aire sous le graphique du tramway en bandes d’une seconde, alternativement rouges et bleues. L’aire de chaque bande est la distance que le tramway a parcourue pendant cette seconde. Les traits blancs divisent l’aire en petits triangles identiques, chacun étant la moitié d’un carreau 1 s fois 1 m/s. Dans la première bande, il y a un petit triangle, dans la deuxième trois, dans la troisième cinq et dans la quatrième sept. Chaque bande suivante est plus haute d’un carreau, et c’est pourquoi deux petits triangles s’y ajoutent. Les distances pour chaque seconde, et avec elles les écarts entre les repères, sont dans le rapport 1:3:5:7.

Quand nous additionnons les bandes, nous obtenons la distance depuis le départ : après une seconde un petit triangle, après deux 1 + 3 = 4, après trois 1 + 3 + 5 = 9, après quatre 16. On obtient à chaque fois le carré du nombre de secondes, exactement selon la formule $d=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Une autre accélération rendrait le graphique plus raide ou plus plat, mais les nombres de petits triangles resteraient les mêmes.

Le graphique de la distance est une parabole

Nous notons les distances du tramway $d=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ pour des secondes entières. En une seconde, il parcourt 0,5 m, en deux 2 m, en trois 4,5 m, en quatre 8 m et en dix 50 m. Un temps deux fois plus long donne une distance quatre fois plus longue, un temps trois fois plus long une distance neuf fois plus longue, car dans la formule le temps est élevé au carré.

Les points ne sont plus sur une droite, mais sur une courbe appelée parabole. Pourquoi se courbe-t-elle vers le haut ? La pente du graphique de la distance est la vitesse, et celle du tramway augmente sans cesse. Au début, le tramway est à l’arrêt et le graphique est horizontal, puis il est de plus en plus raide. La droite grise en pointillés est le graphique d’un mouvement à vitesse moyenne constante de 5 m/s, qui finit au même point au bout de dix secondes. Le tramway est d’abord en retard, et vers la fin il rattrape sa perte.

Le mathématicien dira que la distance est une fonction du second degré du temps, puisque le temps y figure au carré. Le graphique de toute fonction du second degré est une parabole, même pour la voiture qui ne part pas de l’arrêt. Son graphique $d=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ ne commence toutefois pas à l’horizontale. La voiture roule déjà à 10 m/s au début, et le graphique part donc de l’origine tout de suite avec une pente de 10 m/s puis se redresse de plus en plus. Tu en trouveras davantage sur la parabole dans l’article sur la fonction polynôme du second degré.

La vitesse sans le temps

Le tramway atteint 50 km/h en quatorze secondes environ. Combien de mètres parcourt-il pendant ce temps ? On pourrait le calculer en passant par le temps, mais on peut aussi s’en passer : il existe une formule où le temps n’apparaît pas du tout. De la formule v = v₀ + a · t, nous isolons le temps, $t=\frac{v-v_0}{a}$, et nous le reportons dans la formule avec la vitesse moyenne :

$$\begin{array}{rl}d& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

Au numérateur, nous développons les parenthèses et les termes du milieu s’annulent :

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Nous avons donc $d=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Nous multiplions les deux côtés par 2 · a et nous ajoutons $v_0^2$ :

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot d$$

Vérifions-la sur la voiture : (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², et c’est bien (20 m/s)².

Le tramway part de l’arrêt, donc v² = 2 · a · d et la distance est $d=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Nous n’arrondirons pas la vitesse, nous la mettons dans la formule sous forme de fraction :

$$\begin{array}{rl}d& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Pour atteindre les 50, le tramway a besoin de presque cent mètres de voie.

Les mêmes formules marchent aussi pour le freinage, seulement avec une accélération négative quand le sens positif est celui de la marche. Si une voiture freine jusqu’à l’arrêt, la vitesse finale est nulle et la relation $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot d$ dit combien de mètres il lui faut pour s’arrêter. C’est la distance de freinage, qui augmente avec la vitesse beaucoup plus vite que les conducteurs ne le voudraient.

Combien de mètres il faut réellement à la voiture si nous ajoutons à la distance de freinage le temps qui s’écoule avant que le conducteur n’appuie seulement sur la pédale de frein, et pourquoi une voiture lancée au double de la vitesse a besoin d’une distance de freinage quatre fois plus longue, nous le calculerons dans l’article suivant, Freinage et distance de freinage.