Равноускорително движение

Трамвай стои на спирката, вратите се затварят и трамваят потегля с ускорение 1 m/s². Всяка секунда се движи с 1 m/s по-бързо: след първата секунда 1 m/s, след втората 2 m/s, след десетата 10 m/s. Движението по права, при което ускорението остава постоянно, наричаме равноускорително праволинейно движение. Равно, защото скоростта нараства равномерно, за всяка секунда с една и съща стойност. Съвсем постоянно ускорение няма нито един трамвай или кола, но потеглянето на зелено или камъкът, пуснат от ръка, са много близо до него.

Скорост във всеки момент

Колко бързо се движи трамваят след седем секунди? Най-вероятно ще отговориш 7 m/s и си прав. Общата формула извеждаме от формулата за ускорение $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Хронометъра пускаме в момента, когато започваме да следим движението, така че времето Δt е просто времето t на хронометъра. Промяната на скоростта е v − v₀, където v₀ е началната скорост, която тялото е имало, когато сме пуснали хронометъра. Двете страни умножаваме по времето и прибавяме началната скорост:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Скоростта в момент t е следователно

$$v=v_0+a\cdot t$$

Към първоначалната скорост всяка секунда се прибавя a, за t секунди следователно a · t. Трамваят потегля от покой, v₀ = 0 m/s, и след десет секунди се движи със

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Метри в секунда на квадрат, умножени по секунди, дават метри в секунда, мерните единици са верни. В километри в час преобразувахме с умножение по числото 3,6.

Графиката на скоростта е права

Формулата v = v₀ + a · t изглежда като s = s₀ + v · t, формулата за пътя при постоянна скорост. Това е линейна функция y = a · x + b, само че вместо x е времето, вместо y скоростта, ъгловият коефициент е ускорението, а b е началната скорост. Графиката на скоростта затова е права.

Червената права принадлежи на трамвая, започва от началото и за секунда се вдига с 1 m/s. Синята принадлежи на колата, която се влачи зад трактор със скорост 10 m/s, тоест 36 km/h. На шофьора му изтича търпението, дава газ и иска да изпревари трактора. Колата сега има ускорение 2 m/s². Графиката ѝ започва на вертикалната ос на височина v₀ = 10 m/s и се вдига два пъти по-стръмно от графиката на трамвая. Наклонът на графиката на скоростта е ускорението, както наклонът на графиката на пътя е скоростта.

Пътят е лицето под графиката

Колко метра колата изминава при изпреварването? При постоянна скорост пътят е скрит в лицето под графиката на скоростта. Там графиката е хоризонтална и лицето под нея е правоъгълник. Има ли смисъл и при графика, която се вдига? Времето нарязваме на тънки ивици, например по стотна от секундата. За стотна от секундата скоростта на колата се променя само с 0,02 m/s, така че във всяка ивица колата се движи почти с постоянна скорост и изминава толкова, колкото е лицето на ивицата, височина по ширина. Колкото по-тънки са ивиците, толкова по-точно важи това. Когато съберем пътищата от всички ивици, получаваме цялото лице под графиката.

Под графиката на скоростта има трапец. Хоризонталната прекъсната линия го разрязва на син правоъгълник и червен триъгълник. Синият правоъгълник е широк t и висок v₀. Лицето му v₀ · t отговаря на пътя, който колата би изминала, ако изобщо не ускоряваше.

Червеният триъгълник е наградата за ускоряването, път отгоре в сравнение с движението с първоначалната скорост. Той е правоъгълен, единият му катет е времето t, а другият прирастът на скоростта Δv = a · t. Такъв триъгълник е половината от правоъгълник със същите страни, така че лицето му е

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Правоъгълникът и триъгълникът заедно дават пътя при равноускорително движение:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Когато тялото потегля от покой, правоъгълникът изчезва и остава само триъгълникът, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Трамваят за десет секунди изминава

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Секундите на квадрат се съкращават и остават метри.

Натрапва се по-просто изчисление, s = v · t с крайната скорост: 10 m/s · 10 s = 100 m. Това е два пъти повече, защото трамваят се е движил със 10 m/s едва в самия край. В графиката вместо триъгълника бихме измерили целия правоъгълник, а той има двойно по-голямо лице.

Изпреварване на трактор

Сега цялото изпреварване ще разгледаме по стъпки. Колата ускорява пет секунди. С каква скорост ще се движи след това и колко метра ще измине дотогава? Първо условието:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Мерните единици са основни, а общите формули вече имаме. Числата първо заместваме във формулата за скоростта:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

И във формулата за пътя:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Синият правоъгълник на фигурата има следователно лице 50 m, а червеният триъгълник 25 m. Има ли резултатът смисъл? Ако колата се движеше през цялото време с първоначалните 10 m/s, щеше да измине 50 m, ако се движеше през цялото време с крайните 20 m/s, щеше да измине 100 m. Резултатът е между тези две стойности. Колата за пет секунди ускорява до 72 km/h и изминава 75 m.

Тракторът междувременно продължава със скорост 10 m/s и изминава 50 m, колкото е синият правоъгълник. Колата така за пет секунди се е откъснала от трактора с 25 m, точно колкото е лицето на червения триъгълник. Ако тракторът влачеше дълго ремарке, шофьорът щеше да трябва да дава газ по-дълго.

Средната скорост е точно по средата

Лицето на трапеца можем да изчислим и наведнъж: средно аритметично от двете успоредни страни по височината. Успоредните страни тук са v₀ и v, височината е времето:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Пътя обаче можем да запишем и като средна скорост по време, s = v_ср · t. Затова при равноускорително движение важи

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}=\frac{v_0+v}{2}.$$

Средната скорост лежи точно по средата между началната и крайната. При колата това е 15 m/s и 15 m/s · 5 s пак е 75 m. Това работи само защото графиката на скоростта е права. Другаде средната скорост не е нужно да лежи по средата, например при пътя натам 60, обратно 40.

Разстояния 1 : 3 : 5 : 7

Когато потегляща кола оставя всяка секунда маркировка, разстоянията растат в отношение 1:3:5:7:9. В графиката на скоростта това се вижда от пръв поглед.

Лицето под графиката на трамвая сме нарязали на секундни ивици, последователно червени и сини. Лицето на всяка ивица е пътят, който трамваят е изминал през тази секунда. Белите линии делят лицето на еднакви триъгълничета, всяко е половината от квадратче 1 s по 1 m/s. В първата ивица има едно триъгълниче, във втората три, в третата пет и в четвъртата седем. Всяка следваща ивица е с квадратче по-висока и затова в нея се добавят две триъгълничета. Пътищата за отделните секунди, а с тях и разстоянията между маркировките, са в отношение 1:3:5:7.

Когато ивиците съберем, получаваме пътя от старта: след една секунда едно триъгълниче, след две 1 + 3 = 4, след три 1 + 3 + 5 = 9, след четири 16. Всеки път излиза квадратът на броя секунди, точно по формулата $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Друго ускорение би направило графиката по-стръмна или по-полегата, броят на триъгълничетата обаче би останал същият.

Графиката на пътя е парабола

Записваме пътищата на трамвая $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ след цели секунди. За една секунда изминава 0,5 m, за две 2 m, за три 4,5 m, за четири 8 m и за десет 50 m. Два пъти по-дълго време дава четири пъти по-дълъг път, три пъти по-дълго време девет пъти по-дълъг, защото времето във формулата се повдига на квадрат.

Точките вече не лежат на права, а на извита линия, наречена парабола. Защо се извива нагоре? Наклонът на графиката на пътя е скоростта, а тя при трамвая непрекъснато расте. В началото трамваят стои и графиката е хоризонтална, после става все по-стръмна. Сивата прекъсната права е графиката на движение с постоянна средна скорост 5 m/s, което за десет секунди свършва в същата точка. Трамваят първо изостава, към края наваксва загубата си.

Математикът ще каже, че пътят е квадратна функция на времето, защото в нея участва времето на квадрат. Графиката на всяка квадратна функция е парабола, и при колата, която не тръгва от покой. Нейната графика $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ обаче не започва хоризонтално. Колата още в началото се движи със 10 m/s и затова графиката излиза от началото веднага с наклон 10 m/s и после се вдига все по-стръмно. Повече за параболата ще намериш в статията Квадратна функция.

Скорост без време

Трамваят набира 50 km/h приблизително за четиринайсет секунди. Колко метра изминава при това? Може да се пресметне през времето, но става и без него: има формула, в която времето изобщо не участва. От формулата v = v₀ + a · t изразяваме времето, $t=\frac{v-v_0}{a}$, и го поставяме във формулата със средната скорост:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

В числителя разкриваме скобите и средните членове се съкращават взаимно:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Имаме следователно $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Двете страни умножаваме по 2 · a и прибавяме $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Ще го проверим с колата: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², а това наистина е (20 m/s)².

Трамваят потегля от покой, така че v² = 2 · a · s и пътят е $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Скоростта няма да закръгляваме, а ще я поставим във формулата като дроб:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

За да достигне петдесет километра в час, трамваят има нужда от почти сто метра релси.

Същите формули работят и за спиране, само с отрицателно ускорение, когато положителната посока сочи по посока на движението. Ако колата спира, докато не застане на място, крайната скорост е нула и зависимостта $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ показва колко метра ѝ трябват, за да спре. Това е спирачният път, който със скоростта расте много по-бързо, отколкото на шофьорите би се искало.

Колко метра наистина са нужни на колата, когато към спирачния път прибавим и мига, преди шофьорът изобщо да натисне спирачката, и защо колата при двойна скорост има нужда от четири пъти по-дълъг спирачен път, ще пресметнем в следващата статия, Спиране и спирачен път.