벡터

벡터는 크기뿐 아니라 방향도 가진 양이다. 그 점에서 크기만 가진 보통의 수, 즉 스칼라와 다르다.

유향선분

평면 위에 서로 다른 두 점 A, B가 있다. 두 점 사이에 선분을 그을 수 있다. 이 선분은 보통 AB로 쓰는데, 이때 점의 순서는 상관없다. 선분 AB는 선분 BA와 똑같다.

이것이 늘 편하지는 않으므로 유향선분이라는 개념을 쓴다. 유향선분에서는 시점과 종점을 구별한다. 유향선분 AB는 시점이 A이고 종점이 B이다. 그림에서는 유향선분을 화살표로 나타내고, 글에서는 점 위에 화살표를 그려 $\overrightarrow{AB}$로 나타낸다. 예를 보자.

파란색은 선분 AB, 빨간색은 유향선분 $\overrightarrow{CD}$이다. 유향선분 $\overrightarrow{AB}$에서 A = B이면 이 유향선분은 크기가 0이며, 뒤에서 볼 영벡터를 나타낸다. 시점과 종점이 같아서 사실상 점 하나뿐이니 선분이라고 부르기도 어색하다.

유향선분의 크기는 보통의 선분의 길이와 같다. $|\overrightarrow{AB}|=\overline{AB}$가 성립한다.

유향선분의 방향

다음 두 유향선분 $\overrightarrow{AB}$와 $\overrightarrow{CD}$를 보자.

언뜻 보아도 두 유향선분의 방향이 같다는 것을 알 수 있다. “방향”이라는 개념을 엄밀하게 정의할 수도 있지만, 여기서는 직관적으로 이해하는 데서 멈추자. 간단히 말해 두 유향선분이 평행하고 서로 반대쪽을 가리키지 않으면 방향이 같다. 다음은 모두 방향이 같은 유향선분의 쌍이다.

마지막 초록 선분은 유향선분 $\overrightarrow{IJ}$와 $\overrightarrow{IK}$이다. 다음은 방향이 같지 않은 선분의 쌍의 예이다.

벡터란

방향이 같은 두 유향선분의 그림으로 돌아가 보자.

이 두 유향선분은 방향뿐 아니라 크기도 같다. 두 선분의 유일한 차이는 놓인 위치가 다르다는 것이다. 이렇게 방향과 크기가 같은 유향선분들은 모두 같은 벡터를 나타낸다.

그래서 벡터 하나를 평면(또는 공간)에 그리는 방법은 무수히 많다. 주어진 벡터와 방향과 크기가 같은 유향선분이면 무엇이든 된다. 다음 유향선분들은 모두 같은 벡터를 나타낸다.

벡터는 크기와 방향만으로 정해진다. 벡터의 크기와 방향은 그 벡터를 나타내는 유향선분의 크기와 방향과 같다. 벡터는 보통 유향선분처럼 화살표를 붙여 쓴다. 그래서 벡터 $\overrightarrow{AB}$나 더 간단히 벡터 $\overrightarrow{u}$라고 쓴다.

이때 구체적인 유향선분 하나하나를 그 벡터를 나타내는 유향선분이라고 한다. 앞의 그림에는 유향선분이 모두 7개 있고, 각각이 같은 벡터를 서로 다른 위치에 나타낸다. 유향선분 $\overrightarrow{AB}$와 $\overrightarrow{MN}$은 같은 벡터, 예를 들어 $\overrightarrow{v}$를 나타내지만, 벡터 $\overrightarrow{v}$를 서로 다른 위치에 나타낸 것이다.

평행한 벡터

두 벡터 $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$가 있다. 두 벡터를 나타내는 유향선분이 서로 평행하면 두 벡터는 평행하다고 한다. 두 벡터 $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$의 크기는 같지 않아도 된다. 방향은 같거나 반대여야 한다. 평행한 벡터의 예를 보자.

빨간 벡터는 모두 서로 평행하다. 방향은 상관없다. 오른쪽 위를 가리키든 왼쪽 아래를 가리키든 마찬가지이다. 파란 벡터 $\overrightarrow{GH}$는 평행하지 않다.

평행한 벡터의 방향이 같으면 방향이 같은 벡터, 방향이 같지 않으면 방향이 반대인 벡터라고 한다. 앞의 그림으로 돌아가면 벡터 $\overrightarrow{AB}$와 $\overrightarrow{EF}$는 방향이 같고, 벡터 $\overrightarrow{AB}$와 $\overrightarrow{KL}$은 방향이 반대이다.

벡터의 성분

벡터 하나를 무수히 많은 유향선분으로 나타낼 수 있다는 것은 이미 알고 있다. 그 가운데 하나는 시점이 좌표계의 원점, 즉 평면이라면 점 (0, 0), 공간이라면 점 (0, 0, 0)에 있다. 다음 그림을 보자.

유향선분 $\overrightarrow{AB}$와 $\overrightarrow{CD}$는 방향과 크기가 같으므로 같은 벡터이다. 이때 선분 $\overrightarrow{CD}$는 좌표계의 원점에서 시작하고, 점 C의 좌표는 (0, 0)이다. 선분 $\overrightarrow{EF}$와 $\overrightarrow{KL}$의 쌍도 마찬가지이다.

선분 $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$가 원점에서 시작한다는 것을 알면, 이 벡터들을 종점만으로 나타내기로 약속할 수 있다. 시점은 (좌표계의 원점으로) 같으므로, 선분 $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$를 구별하려면 종점만 적으면 된다.

벡터 $\overrightarrow{AB}$, 따라서 벡터 $\overrightarrow{CD}$의 성분은 (3, 1)이라고 한다. 이것은 선분 $\overrightarrow{CD}$의 종점인 점 D의 좌표이다. 벡터 $\overrightarrow{KL}$의 성분은 점 F의 좌표인 (−1, 4)이다.

벡터의 성분 구하기

이제 벡터의 성분을 수학적으로 구하는 방법이다. 벡터 $\overrightarrow{u}$를 정하는 두 점 A, B의 좌표를 안다고 하자. 두 점 A(2, 3)과 B(5, 4)로 정해지는 벡터 $\overrightarrow{u}$가 있다. 앞의 그림에서 위쪽에 있는 빨간 벡터이다. 벡터 $\overrightarrow{u}$를 나타내면서 원점에서 시작하는 유향선분의 종점, 즉 점 D의 좌표는 어떻게 찾을까?

선분 $\overrightarrow{AB}$ 전체를 좌표계의 원점으로 평행이동하기만 하면 된다. 점 A를 원점으로 옮기려면 왼쪽으로 2칸, 아래로 3칸 옮겨야 한다. 점 B도 마찬가지이다. 다시 말해 두 점 A와 B에서 모두 점 A의 좌표를 뺀다. 그러면 선분 $\overrightarrow{AB}$가 선분 $\overrightarrow{CD}$가 그려진 곳으로 옮겨진다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

벡터 $\overrightarrow{u}$의 성분은 시점이 원점인 유향선분의 종점의 좌표인 (3, 1)이다.

즉 두 점 A(x₁, y₁)과 B(x₂, y₂)로 정해지는 벡터 $\overrightarrow{u}$의 성분은 다음과 같이 구한다.

$$B-A=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

벡터 $\overrightarrow{u}$의 성분은 소괄호 안에 쓰므로, 앞의 벡터 $\overrightarrow{u}$의 성분은 $\overrightarrow{u}=(3,1)$로 쓴다.

그림으로 돌아가 벡터 $\overrightarrow{KL}$의 성분도 구해 보자. 두 점 K와 L의 좌표는 K(−2, 1), L(−3, 5)이다. 따라서 벡터의 성분은 다음과 같다.

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=(-1,4)$$

점 F의 좌표가 올바르게 나왔다.

벡터의 크기 구하기

벡터의 성분을 알면 크기를 쉽게 구할 수 있다. 피타고라스 정리를 이용하면 평면에서 성분이 $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$인 벡터의 크기가 다음과 같다는 것을 꽤 쉽게 이끌어 낼 수 있다.

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

다음 그림을 보면 벡터의 성분이 그림의 직각삼각형의 변의 길이와 같고, 피타고라스 정리를 적용하면 벡터의 크기를 정말 쉽게 구할 수 있다는 것을 알 수 있다.

벡터 $\overrightarrow{u}=(2,4)$의 크기는 다음과 같다.

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

이제 배운 내용을 연습할 예제 두 개를 풀어 보자.

1. 두 점 A(3, 7), B(−1, 0)으로 정해지는 벡터 $\overrightarrow{u}$의 성분을 구하시오. 방법은 아주 간단하고 직접적이다. $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=B-A$이다.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   따라서 벡터의 성분은 $\overrightarrow{u}=(-4,-7)$이다.

2. 벡터 $\overrightarrow{u}$의 성분이 $\overrightarrow{u}=(2,3)$이고, 이 벡터는 두 점 A(6, 6)과 B(x₁, y₁)로 정해진다. 즉 $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$이다. 점 B의 좌표를 구하시오.

   이번에도 익숙한 식을 세우고 미지수만 한쪽으로 모은다.

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   두 번째 성분도 같은 방법으로 구한다.

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   점 B의 좌표는 (8, 9)이다.