점과 직선 사이의 거리

점과 직선 사이의 거리는 그 점에서 직선까지 그은 “가장 짧은” 선분의 길이이다.

문제

직선 p와 이 직선 위에 있지 않은 점 A가 있다. 점 A와 직선 p 사이의 거리를 알고 싶다. 예로 일반형 p: −x + 2y − 12 = 0으로 주어진 직선과 점 A(6, 4)를 보자.

점과 직선 사이의 거리는 선분 AB의 길이이다. 여기서 직선 AB는 직선 p에 수직이고 점 B는 직선 p 위에 있다. 직선 AB를 q라고 하자.

공식으로 풀기

아무것도 이끌어 내지 않고 “복잡하게” 계산하지도 않으려면 공식만 외우면 된다. 점 A(a₁, a₂)와 일반형 p: ax + by + c = 0으로 주어진 직선 p에 대해 점 A와 직선 p 사이의 거리는 다음과 같다.

$$v(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

앞의 예에 공식을 적용해 보자. 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}v(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \fallingdotseq & 4.4721\end{array}$$

교점의 좌표를 구해서 풀기

다른 방법으로 점 B의 좌표를 구해 볼 수도 있다. 그러면 선분 AB의 길이는 벡터의 크기나 피타고라스 정리로 쉽게 구할 수 있다. 이때 직선 q의 방정식이 도움이 된다. 직선 p의 일반형에서 직선 p의 법선벡터 $\overrightarrow{n}=(-1,2)$를 바로 얻는다. 두 직선 p와 q는 서로 수직이므로, 벡터 $\overrightarrow{n}$에 수직인 벡터 $\overrightarrow{m}$을 택하면 이 벡터 $\overrightarrow{m}$은 직선 q의 법선벡터이다.

이런 수직인 벡터의 예로 벡터 $\overrightarrow{m}=(2,1)$이 있다(예를 들어 내적으로 확인할 수 있다). 따라서 직선 q의 일반형은 다음과 같다.

$$q:2x+y+c=0$$

계수 c는 x와 y에 직선 위에 분명히 있는 점의 좌표를 대입해서 구한다. 이 경우에는 점 A(6, 4)이다. 대입하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

직선 q의 일반형 전체는 다음과 같다.

$$q:2x+y-16=0$$

이제 두 직선의 교점을 구하려고 한다. 두 직선의 방정식으로 연립방정식을 만들어 풀면 교점을 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

첫 번째 방정식에 2를 곱하고 두 번째 방정식은 그대로 둔다.

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

두 방정식을 더한다.

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

점 B의 y좌표는 y = 8이다. 이 값을 아무 방정식에나 대입한다. 예를 들어 −x + 2y − 12 = 0에 대입한다.

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

점 B의 좌표는 B(4, 8)이다. 이제 두 점의 좌표를 모두 안다. 선분의 길이는 쉽게 구할 수 있다. 선분 AB로 벡터 $\overrightarrow{AB}$를 만들고 이 벡터의 크기를 구하면 된다.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=(-2,4)$$

벡터 (−2, 4)의 크기는 다음과 같다.

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\fallingdotseq 4.4721$$