원의 방정식

원은 중심 S에서 같은 거리 r에 있는 평면 위의 모든 점으로 이루어진다. 원의 방정식은 같은 문장을 좌표로 쓴 것일 뿐이다. 점 X(x, y)가 원 위에 있을 필요충분조건은 중심 S(m, n)까지의 거리가 정확히 r인 것이다. 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리로 구할 수 있다.

중심 S와 점 X를 잇고 가로와 세로로 직각을 낀 두 변을 그려 넣으면 직각삼각형이 생긴다. 가로 변의 길이는 x − m, 세로 변의 길이는 y − n이고, 빗변은 반지름 r이다. 따라서 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립한다.

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2.$$

점 X가 중심의 왼쪽이나 아래쪽에 있으면 차 x − m이나 y − n이 음수가 된다. 하지만 상관없다. 제곱은 결코 음수가 아니기 때문이다. 벡터의 크기를 아는 사람은 같은 공식이라는 것을 알아챌 것이다. 좌변은 벡터 $\overrightarrow{SX}$의 크기의 제곱이다.

이 방정식은 원 위의 모든 점의 좌표가 만족하고, 그 밖의 점의 좌표는 만족하지 않는다. 원의 내부에 있는 점은 중심까지의 거리가 r보다 작으므로 좌변의 값이 r²보다 작다. 원의 외부에 있는 점은 그 반대이다.

원의 방정식의 표준형

다음 방정식을

$$(x-m{)}^2+(y-n{)}^2=r^2$$

원의 방정식의 표준형(중심과 반지름으로 나타낸 원의 방정식)이라고 한다. 중심 S(m, n)과 반지름 r을 바로 알 수 있으므로 가장 편리한 꼴이다.

중심이 S(2, −1)이고 반지름이 r = 3인 원의 방정식을 세워 보자. m = 2, n = −1, r = 3을 대입한다.

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

마이너스 마이너스 1은 플러스 1이고, 3의 제곱은 9이다.

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

바로 여기서 실수가 가장 많이 나온다. 중심 S(2, −1)은 방정식에서 부호가 반대로 나타난다. 2는 −2로, −1은 +1로 나타난다. (x + 2)² + (y − 1)² = 9라고 쓰면 중심이 (−2, 1), 즉 전혀 다른 곳에 있는 원을 얻는다. 방정식을 읽을 때도 같은 함정이 있다. 방정식 (x + 5)² + (y − 3)² = 16에서 읽을 수 있는 중심은 (5, −3)이 아니라 S(−5, 3)이다. 그리고 세 번째 함정은 우변이 r이 아니라 r²이라는 것이다. 이 원의 반지름은 16이 아니라 $\sqrt{16}=4$이다.

가장 간단한 원은 중심이 원점 (0, 0)인 원이다. 두 괄호가 간단해져서 방정식 x² + y² = r²만 남는다.

지름이 주어진 원

문제에서 중심이나 반지름을 바로 알려 주지 않는 경우가 많다. 예를 들어 A(−1, 2)와 B(5, −6)에 대해 선분 AB를 지름으로 하는 원을 구해야 한다고 하자.

원의 중심은 지름의 한가운데에 있으므로 선분 AB의 중점이기도 하다. 중심의 좌표는 두 점 A와 B의 좌표의 평균으로 얻는다.

$$S=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

반지름은 지름의 절반이므로 먼저 선분 AB의 길이를 구한다. 좌표의 차는 5 − (−1) = 6과 −6 − 2 = −8이다. 피타고라스 정리를 쓴다.

$$\overline{AB}=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

지름이 10이므로 반지름은 r = 5이다. 반지름에 길이 $\overline{AB}$ 전체를 대입하면 원이 두 배로 커지므로 틀린다. 표준형에 대입한다.

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

점 A를 대입해서 확인한다. (−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25이다. 맞으므로 점 A는 원 위에 있다.

일반형

표준형에서 괄호를 전개하면 원의 방정식의 일반형을 얻는다. 첫 번째 원 (x − 2)² + (y + 1)² = 9에서 출발해 두 괄호를 공식 (a − b)² = a² − 2ab + b²과 (a + b)² = a² + 2ab + b²에 따라 제곱한다.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

항을 정리하고 우변이 0이 되도록 9를 좌변으로 옮긴다.

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

수를 더한다.

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

여전히 같은 원이고, 쓰는 방법만 다르다. 일반형은 x² + y² + ax + by + c = 0 꼴로 쓴다. x²과 y²의 계수가 같고 x · y항이 없다는 것에 주목하자. 보통 이것으로 원인지 알 수 있지만, 확실히 하려면 표준형로 다시 바꿔야 한다. 방정식 x² + 4y² = 4는 원이 아니라 타원을 나타낸다.

일반형에서는 중심이나 반지름을 한눈에 읽을 수 없으므로 다시 바꿀 줄 알아야 한다.

일반형에서 되돌리기

방정식 x² + y² + 6x − 8y = 0이 있고, 이 원의 중심과 반지름을 알고 싶다. x와 y에 대해 따로 완전제곱식으로 고치기를 쓴다. 먼저 항을 변수별로 묶는다.

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

6의 절반은 3이다. 그런데 (x + 3)² = x² + 6x + 9이므로 9를 더 더한 셈이고, 이를 다시 빼야 한다. 그래서 x² + 6x = (x + 3)² − 9이다. −8의 절반은 −4이므로 y² − 8y = (y − 4)² − 16이다. 대입한다.

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

수를 우변으로 옮긴다.

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

끝났다. 이것이 표준형이다. 부호에 주의하자. 중심은 S(−3, 4)이고 반지름은 $r=\sqrt{25}=5$이다. 원래 방정식에는 상수항이 없었으므로 점 (0, 0)이 방정식을 만족하고, 따라서 원은 원점을 지난다. 확인하면 (0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25이다.

완전제곱식으로 고친 뒤 우변이 음수가 되면 원이 아니다. 두 제곱의 합은 음수일 수 없기 때문이다. 우변이 0이면 중심 하나만 방정식을 만족한다.

점이 원 위에 있을까?

점의 좌표를 표준형의 좌변에 대입하고 결과를 r²과 비교한다. 점 A(1, 2)와 첫 번째 원 (x − 2)² + (y + 1)² = 9를 보자.

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

10이 나왔고, 이는 9보다 크다. 즉 점 A는 중심에서 반지름보다 멀리 있으므로 원의 외부에 있다. 정확히 9가 나오면 원 위에, 더 작은 수가 나오면 원의 내부에 있다.