두 직선의 위치 관계

평면 위의 두 직선의 위치 관계는 모두 네 가지로 나눌 수 있다. 두 직선은 평행하거나, 한 점에서 만나거나, 수직이거나, 일치할 수 있다.

방정식으로 위치 관계 알아내기

두 직선의 방정식이 주어지면 두 방정식을 연립하여 풀기만 하면 된다. 경우는 모두 세 가지이다.

연립방정식의 해가 없다 – 두 직선은 공유점이 없으므로 평행하다.
연립방정식의 해가 하나뿐이다 – 두 직선은 공유점(교점)이 하나뿐이므로 한 점에서 만난다.
연립방정식의 해가 무수히 많다 – 두 직선은 공유점이 무수히 많으므로 일치한다.

이 방법으로는 두 직선이 수직인지 알 수 없다는 것에 주의하자.

두 직선의 서로 다른 세 가지 위치 관계

그림에서 직선 a, b는 평행하고, 직선 c, d는 한 점에서 만나며, 직선 e, f는 일치한다.

예제를 보자.

방정식 p: −x + 3y − 5 = 0과 q: 2x + 3y − 17 = 0으로 주어진 두 직선 p와 q의 위치 관계를 조사하시오. 두 방정식으로 연립일차방정식을 만들어 푼다.

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 5 & = & 0 \\ 2 x + 3 y - 17 & = & 0 \end{array}$

첫 번째 방정식에 2를 곱한다.

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 6 y - 10 & = & 0 \\ 2 x + 3 y - 17 & = & 0 \end{array}$

두 방정식을 더한다.

$- 2 x + 6 y - 10 + (2 x + 3 y - 17) = 0$

나머지 계산은 쉽다.

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 6 y - 10 + (2 x + 3 y - 17) & = & 0 \\ 6 y + 3 y - 10 - 17 & = & 0 \\ 9 y - 27 & = & 0 \\ y - 3 & = & 0 \\ y = 3 \end{array}$

이제 x를 구한다. 예를 들어 y = 3을 방정식 −x + 3y − 5 = 0에 대입한다.

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 5 & = & 0 \\ - x + 3 \cdot 3 - 5 & = & 0 \\ - x + 4 & = & 0 \\ x & = & 4 \end{array}$

연립방정식의 해는 x = 4, y = 3 하나뿐이다. 즉 두 직선은 한 점에서 만나고 교점은 X(4, 3)이다. 그림을 보자.
방정식 p: 2x + y − 8 = 0으로 주어진 직선 p와 다음 매개변수 표현으로 주어진 직선 q의 위치 관계를 조사하시오.

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - t \\ y & = & 2 + 2 t \end{array}$

이 경우에는 직선의 방정식의 일반형 하나와 매개변수방정식 하나가 있다. 일반형의 x와 y에 매개변수 표현의 값을 대입해서 푼다. 즉 일반형의 x에 매개변수 표현의 우변을 대입하고, y도 마찬가지로 한다. 그러면 방정식 하나를 얻는다.

$\begin{array}{rcl} 2 x + y - 8 & = & 0 \\ 2 \cdot (5 - t) + (2 + 2 t) - 8 & = & 0 \end{array}$

그다음은 늘 하던 대로 방정식을 정리한다.

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (5 - t) + (2 + 2 t) - 8 & = & 0 \\ 10 - 2 t + 2 + 2 t - 8 & = & 0 \\ 12 - 8 + 2 t - 2 t & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$

방정식의 해가 없으므로 두 직선은 어느 점에서도 만나지 않는다. 따라서 두 직선 p와 q는 평행하다. 그림을 보자.
방정식 p: 3x + y − 10 = 0과 q: −9x −3y + 30 = 0으로 주어진 두 직선 p와 q의 위치 관계를 조사하시오. 두 번째 방정식이 첫 번째 방정식의 −3배라는 것이 한눈에 보이므로 두 직선은 일치할 것이다. 그래도 계산해 보자. 연립방정식을 만든다.

$\begin{array}{rcl} 3 x + y - 10 & = & 0 \\ - 9 x - 3 y + 30 & = & 0 \end{array}$

첫 번째 방정식에 3을 곱한다.

$\begin{array}{rcl} 9 x + 3 y - 30 & = & 0 \\ - 9 x - 3 y + 30 & = & 0 \end{array}$

두 방정식을 더한다.

$\begin{array}{rcl} 9 x + 3 y - 30 + (- 9 x - 3 y + 30) & = & 0 \\ 9 x - 9 x + 3 y - 3 y + 30 - 30 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

연립방정식의 해가 무수히 많으므로 두 직선은 공유점이 무수히 많고, 따라서 일치한다. 그림을 보자.

방향벡터와 법선벡터로 위치 관계 알아내기

방향벡터나 법선벡터를 알면 두 직선의 위치 관계를 알 수 있다. 이때 다음이 성립한다.

두 방향벡터가 평행하면(일차종속이면) 두 직선은 평행하거나 일치한다.
두 방향벡터가 평행하지 않으면(일차종속이 아니면) 두 직선은 한 점에서 만난다.
두 방향벡터의 내적이 0이면 두 직선은 서로 수직이다.

법선벡터에 대해서도 위의 내용이 똑같이 성립한다. 즉 두 법선벡터가 평행하면 두 직선은 평행하거나 일치하고, 나머지도 마찬가지이다.

앞 절의 세 예제를 방향벡터와 법선벡터로 풀어 보자.

방정식 p: −x + 3y − 5 = 0과 q: 2x + 3y − 17 = 0으로 주어진 두 직선 p와 q의 위치 관계를 조사하시오. 직선 p의 법선벡터는 $\vec{u} = (- 1, 3)$ 이고, 직선 q의 법선벡터는 $\vec{v} = (2, 3)$ 이다. 두 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$ 는 일차종속이 아니므로 평행하지 않다. $a \cdot \vec{u} = \vec{v}$ 를 만족하는 a ∈ ℝ은 없다. 따라서 두 직선은 한 점에서 만난다.

두 직선이 서로 수직인지 확인하려고 내적도 구한다. 두 법선벡터의 내적은 다음과 같다.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2}) = - 2 + 9 = 7$

내적이 0이 아니므로 두 직선은 서로 수직이 아니다.
방정식 p: 2x + y − 8 = 0으로 주어진 직선 p와 다음 매개변수 표현으로 주어진 직선 q의 위치 관계를 조사하시오.

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - t \\ y & = & 2 + 2 t \end{array}$

매개변수 표현에서 직선 q의 방향벡터를 바로 읽을 수 있다. 방향벡터는 매개변수 t의 계수와 같으므로 직선 q의 방향벡터는 $\vec{v} = (- 1, 2)$ 이다. 직선 p의 일반형에서는 법선벡터를 바로 읽을 수 있다. 법선벡터는 $\vec{n} = (2, 1)$ 이다(x와 y 앞의 계수). 법선벡터에서 방향벡터 $\vec{u} = (1, - 2)$ 를 얻는다.

(두 수의 자리를 바꾸고 한 성분에 −1을 곱했을 뿐이다. 두 벡터 (2, 1)과 (1, −2)의 내적은 0이므로, (2, 1)이 법선벡터이면 (1, −2)는 방향벡터이다.)

직선 p의 방향벡터는 직선 q의 방향벡터의 −1배이다. 즉 $- 1 \cdot \vec{v} = \vec{u}$ 이다. 두 직선의 방향벡터가 평행하므로 두 직선 p와 q는 평행하거나 일치한다.

이제 두 직선이 평행한지 일치하는지 알아내야 한다. 직선 q 위의 아무 점 A를 골라서 직선 p를 나타내는 방정식에 대입하면 된다. 방정식이 성립하면 두 직선은 일치한다. 그렇지 않으면 평행할 뿐이다.

직선 q의 매개변수 표현에서 매개변수 t에 0을 대입한다. 그러면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - 0 = 5 \\ y & = & 2 + 2 \cdot 0 = 2 \end{array}$

직선 q 위에 분명히 있는 점 A(5, 2)를 얻었다. 이 좌표를 일반형 p: 2x + y − 8 = 0에 대입한다.

$\begin{array}{rcl} 2 x + y - 8 & = & 0 \\ 2 \cdot 5 + 2 - 8 & = & 0 \\ 12 - 8 & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$

이 점은 방정식을 만족하지 않으므로 점 A(5, 2)는 직선 p 위에 있지 않고, 두 직선은 일치하지 않는다.
방정식 p: −x + 3y − 6 = 0과 q: 3x + y − 14 = 0으로 주어진 두 직선 p와 q의 위치 관계를 조사하시오. 이 예제는 앞 절의 세 번째 예제와 다르다. 두 방정식에서 두 직선의 법선벡터를 읽을 수 있다. 법선벡터는 ${\vec{n}}_{p} = (- 1, 3)$ 과 ${\vec{n}}_{q} = (3, 1)$ 이다. 두 법선벡터는 일차종속이 아니므로(평행하지 않으므로) $a \cdot {\vec{n}}_{p} = {\vec{n}}_{q}$ 를 만족하는 실수 a는 없다.

이제 두 직선이 수직인지 알아보자. 내적을 구한다.

${\vec{n}}_{p} \cdot {\vec{n}}_{q} = (- 1, 3) \cdot (3, 1) = - 3 + 3 = 0$

내적이 0이므로 두 벡터는 서로 수직이다. 따라서 두 직선도 서로 수직이다. 그림을 보자.

두 직선의 교점을 구하려면 방정식으로 계산해야 한다. 일반형으로 연립방정식을 만든다.

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 6 & = & 0 \\ 3 x + y - 14 & = & 0 \end{array}$

첫 번째 방정식에 −3을 곱한다.

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 9 y - 18 & = & 0 \\ 3 x + y - 14 & = & 0 \end{array}$

두 방정식을 더하고 정리한다.

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 9 y - 18 + (3 x + y - 14) & = & 0 \\ 9 y + y - 18 - 14 & = & 0 \\ 10 y - 32 & = & 0 \\ y = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \end{array}$

x좌표는 아무 방정식에나 대입해서 구한다. 예를 들어 −x + 3y − 6 = 0에 대입한다.

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 6 & = & 0 \\ - x + 3 \cdot \frac{16}{5} - 6 & = & 0 \\ - x + \frac{48}{5} - \frac{30}{5} & = & 0 \\ - x + \frac{18}{5} & = & 0 \\ x & = & \frac{18}{5} \end{array}$

두 직선의 교점의 좌표는 $P (\frac{18}{5}, \frac{16}{5})$ 이다.

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