직선의 매개변수방정식

직선의 매개변수방정식은 평면이나 공간에서 직선을 나타내는 기본적인 방정식이다.

직선을 나타내는 방법

평면 위의 직선은 어떻게 나타낼 수 있을까? 직선을 나타내려면 서로 다른 두 점, 예를 들어 A와 B만 있으면 된다. 다시 말해 서로 다른 두 점이 있으면 그 두 점을 지나는 직선 p는 오직 하나뿐이다.

이 직선을 벡터로 다르게 나타낼 수는 없을까? 그림에 직선 p에 평행한 벡터 $\overrightarrow{u}$를 그려 넣을 수 있다.

이 벡터 $\overrightarrow{u}$는 직선 p와 방향이 같다. 꽤 좋지만 방향만으로는 부족하다. 직선 p를 벡터 $\overrightarrow{u}$만으로 나타내면 직선의 방향만 정해질 뿐 구체적인 위치는 정해지지 않는다. 다음 세 직선을 구별할 방법이 없다.

새 직선 p₁과 p₂는 직선 p와 방향이 같고 벡터 $\overrightarrow{u}$와도 방향이 같다. 직선 p를 하나로 정하려면 직선 p 위의 점을 적어도 하나 알아야 한다. 직선 p의 방향이 벡터 $\overrightarrow{u}$로 주어지고 직선이 점 A를 지난다고 하면 직선 p가 하나로 정해진다. 직선 p₁과 p₂는 방향은 같지만 어느 것도 점 A를 지나지 않는다.

어떤 직선이든 $p(A,\overrightarrow{u})$로 쓸 수 있다. 여기서 A는 직선 위의 점이고 $\overrightarrow{u}$는 직선에 평행한 벡터이다. 예를 들어 직선 p₁은 $p(G,\overrightarrow{u})$로, 직선 p₂는 $p(E,\overrightarrow{u})$나 $p(F,\overrightarrow{u})$로 쓸 수 있다. 직선 위의 점이면 어느 것이든 쓸 수 있다.

직선의 방향벡터

직선 $p(A,\overrightarrow{u})$에서 벡터 $\overrightarrow{u}$를 직선의 방향벡터라고 한다. 방향벡터를 가장 쉽게 찾는 방법은 직선 p 위의 두 점 A, B를 찾는 것이다. 그러면 방향벡터는 유향선분 $\overrightarrow{AB}$이다. 이 벡터의 성분은 좌표의 차 $\overrightarrow{u}=B-A$로 구한다. 예를 보자.

직선 p 위에 두 점 A, B가 있다. 방향벡터는 유향선분 $\overrightarrow{AB}$와 같으므로, 이 벡터 $\overrightarrow{u}$의 성분은 다음과 같이 계산해서 구한다.

$$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

벡터 $\overrightarrow{u}$의 크기는 유향선분 $\overrightarrow{AB}$의 크기와 같다. 이 벡터 $\overrightarrow{u}$를 그림에 그리면 다음과 같다.

벡터 $\overrightarrow{u}$의 종점의 좌표는 계산한 대로 (4, 2)이고, 이 벡터가 직선에 평행하다는 것을 알 수 있다. 방향벡터는 직선의 방향, 더 쉽게 말하면 “직선이 기울어진 모양”만 알려 준다. 방향벡터는 직선에 평행하기만 하면 된다. 그래서 유향선분 $\overrightarrow{AB}$ 대신 $\overrightarrow{BA}$를 택하면 방향벡터 $\overrightarrow{v}=A-B$를 얻는다.

$$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

그림으로 나타내면 다음과 같다.

초록 벡터 $\overrightarrow{v}$는 파란 벡터 $\overrightarrow{u}$의 역벡터이다. 그래도 둘 다 직선 p에 평행하므로 둘 다 직선 p의 방향벡터이다.

직선의 매개변수 표현

직선 p와 이 직선 위의 점 A, 그리고 방향벡터 $\overrightarrow{u}$가 있다. 점 A에 벡터 $\overrightarrow{u}$를 더하면 어떤 점을 얻을까? 그림을 보자.

직선 위의 점에 방향벡터를 더하면 역시 이 직선 위에 있는 점 X를 얻는다. 사실상 “점 A를 벡터의 방향으로 벡터 $\overrightarrow{u}$의 크기만큼 옮기는” 것이다. 그래서 점 X의 좌표는 다음과 같다.

$$X=(x,y)=A+\overrightarrow{u}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

벡터 $\overrightarrow{u}$의 절반이나 두 배를 더하면 어떻게 될까? 또는 −1배를 더하면? 이번에도 그림을 보자.

점 A에 방향벡터 $\overrightarrow{u}$의 어떤 실수배를 더해도 언제나 직선 p 위의 점을 얻는다. 빨간 점 A는 “출발점”이고, 초록 점들은 점 A에 파란 방향벡터 $\overrightarrow{u}$의 실수배를 더한 결과이다.

사실 직선 p 위의 점 X를 어떻게 고르든, 이 점은 언제나 점 A와 방향벡터 $\overrightarrow{u}$의 t배의 합으로 나타낼 수 있다. 여기서 t는 실수이다. 직선 p 위의 모든 점 X에 대해 다음을 만족하는 t ∈ ℝ이 있다.

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}.$$

다시 말해 이 방정식의 t에 모든 실수를 차례로 대입하면 직선 p를 이루는 모든 점, 즉 직선 p 전체를 얻는다. 이 방정식을 직선 $p(A,\overrightarrow{u})$의 매개변수 표현이라고 한다.

앞의 방정식은 연립방정식으로 바꿀 수 있다. 점 X의 좌표가 (x, y), 점 A의 좌표가 (a₁, a₂), 벡터 $\overrightarrow{u}$의 성분이 (u₁, u₂)이면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

이를 다시 앞에서 말한 연립방정식으로 바꿔 쓸 수 있다(x좌표와 y좌표를 따로 나타낸다).

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

평면 위의 모든 직선은 이 연립방정식으로 나타낼 수 있다.

매개변수의 범위 제한하기

앞 절에서 매개변수방정식의 매개변수 t에 모든 실수를 대입하면 직선을 얻는다고 했다. 모든 실수가 아니라 그 절반, 예를 들어 0 이상인 실수만 대입하면 어떻게 될까?

반직선을 얻는다. 이 그림으로 돌아가 보면…

…방향벡터 $\overrightarrow{u}$의 양의 실수배(즉 양의 매개변수 t)에 대해서는 점 A의 “위쪽”에 있는 점 X를 얻었다. 반대로 $\overrightarrow{u}$의 음의 실수배(즉 음의 매개변수 t)를 더하면 점 A의 “반대쪽”, 즉 “아래쪽”에 있는 점을 얻었다. 매개변수 t에 0 이상인 모든 수, 즉 t ∈ [0, ∞)를 대입하면 빨간색으로 표시한 다음 반직선 r을 얻는다.

점선은 반대로 매개변수 t에 모든 음수를 대입했을 때 얻는 점들을 나타낸다.

매개변수 t에 구간 [0, 1]의 모든 수를 대입하면 길이가 방향벡터의 크기와 같은 선분을 얻는다. 다음 빨간 선분이다.

예제

평면 위에 두 점 A(−1, 3)과 B(2, 5)가 있다.

1. 두 점 A, B를 지나는 직선 p의 매개변수방정식을 구하시오. 먼저 방향벡터를 구한다. 유향선분 $\overrightarrow{AB}$를 택하면 방향벡터 $\overrightarrow{u}$의 성분은 다음과 같다.

   $$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   직선의 매개변수 표현은 일반적으로 $X=A+t\cdot \overrightarrow{u}$ 꼴이므로, 대입하면 다음 방정식을 얻는다.

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   이를 연립방정식으로 바꿔 쓰면 다음과 같다.

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   직선을 나타내므로 t ∈ ℝ이다. 그림은 조금 아래에 있다.

2. 시작점이 A이고 점 B를 지나는 반직선 r의 매개변수방정식을 구하시오. 같은 매개변수방정식을 쓰되 매개변수 t의 범위만 제한한다. 이제 문제는 t ∈ [0, ∞)인지 t ∈ (−∞, 0]인지이다.

   방향벡터는 유향선분 $\overrightarrow{AB}$에서 얻었으므로 시점이 A, 종점이 B이다. 반직선도 시작점이 A여야 하므로 필요한 방향과 그대로 맞는다. 따라서 매개변수의 음수 값으로 방향을 뒤집을 필요가 없고, 매개변수 t를 0 이상인 구간 t ∈ [0, ∞)에서 택한다.

   이 문제와 앞 문제의 답을 나타낸 그림이다.

   

3. 선분 AB의 중점을 구하시오. 방법은 두 가지이다. 먼저 두 점 A, B의 좌표를 더하고 결과를 2로 나누어 보자.

   $$S=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   같은 점을 방향벡터로도 구할 수 있다. 방향벡터는 유향선분 $\overrightarrow{AB}$에서 얻었으므로 $A+\overrightarrow{u}$를 계산하면 점 B를 얻는다. 그래서 A에 방향벡터의 절반을 더하면 선분 AB의 중점을 얻는다.

   $$S=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   같은 점이 나왔다. 확인을 위한 그림이다.