용액의 희석과 혼합

예를 들어 에탄올을 물에 녹이면 용액이 생긴다. 이렇게 얻은 균일한 혼합물은 용질(에탄올)과 용매(물)로 이루어져 있다. 보통 용액이라고 하면 액체 상태의 용액을 떠올리지만, 일반적으로는 청동 같은 합금처럼 두 고체로 이루어진 용액도 있다.

용액의 농도

농도는 용액에 용질이 얼마나 들어 있는지를 나타낸다. 농도를 나타내는 방법은 여러 가지이다.

• 질량 기준: 용액 100 g에 들어 있는 용질의 질량(g)
• 부피 기준: 용액 100 mL에 들어 있는 용질의 부피(mL)
• 백분율: 용액에 용질이 몇 % 들어 있는지를 나타낸다. 예를 들어 40% 용액은 용액 100 mL에 용질이 40 mL 들어 있다는 뜻이다.

물과 에탄올의 용액 500 mL 가운데 150 mL가 에탄올이라면 이 용액의 농도는 얼마일까? 부피 기준 농도를 구하려면 100 mL에 몇 mL가 들어 있는지 알아야 한다. 그런데 알고 있는 것은 0.5 L에 몇 mL가 들어 있는지이다. 이때 비례식을 이용할 수 있다. 먼저 용액 1 mL에 에탄올이 얼마나 들어 있는지 계산한다. 에탄올의 양을 500으로 나누면 된다.

$$\frac{150\text{mL}}{500}=0.3\text{mL}$$

1 mL에 들어 있는 에탄올의 양을 알면, 이 양에 100을 곱해서 100 mL에 들어 있는 양을 구한다.

$$0.3\text{mL}\cdot 100=30\text{mL}$$

따라서 이 용액의 농도는 100 mL당 에탄올 30 mL이다. 즉 30% 용액이다.

혼합 방정식

혼합 방정식을 이용하면 서로 다른 두 용액을 섞어서 얻은 용액의 농도를 계산할 수 있다. 다음 두 용액이 있다고 하자.

1. 에탄올이 30% 들어 있는 용액 500 mL
2. 에탄올이 20% 들어 있는 용액 400 mL

이 두 용액을 섞으면 농도가 얼마인 용액을 얻을까? 첫째 용액의 부피를 V₁ = 500, 둘째 용액의 부피를 V₂ = 400, 섞은 용액의 부피를 V = V₁ + V₂라고 하자.

또 부피 분율이라는 것이 필요하다. 부피 분율은 백분율로 나타낸 농도를 분수 꼴로 바꾼 것일 뿐이다. 따라서 농도가 30%인 첫째 용액의 부피 분율은 $c_1=\frac{30}{100}$이고, 농도가 20%인 둘째 용액의 부피 분율은 $c_2=\frac{20}{100}$이다. (부피 대신 질량으로 계산하면 질량 분율을 쓰게 되는데, 원리는 같다.) 섞은 용액의 부피 분율을 c라고 하자. 이제 혼합 방정식을 쓸 수 있다.

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

이 방정식에서 모르는 것은 섞은 용액의 농도 c뿐이다. 등호 왼쪽의 값은 모두 문제에 주어져 있고, 섞은 용액의 부피 V도 알고 있다. 부피 V₁과 V₂의 합일 뿐이다.

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

모든 문자에 구체적인 값을 대입한다.

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

이제 좌변에서는 분수의 곱을 계산하고, 우변에서는 부피를 더한다.

$$150+80=c\cdot 900$$

방정식 전체를 900으로 나누면 우변에는 구하려는 농도 c만 남는다.

$$\frac{150+80}{900}=c$$

분자를 계산하고, 좌변과 우변을 바꾼다(보통 미지수를 왼쪽에 둔다).

$$c=\frac{230}{900}$$

이것이 섞은 용액의 부피 분율이다. 소수로 나타내려면 230을 900으로 나눈다.

$$\frac{230}{900}=0.255555\dots$$

이 값에 100을 곱하면 백분율을 얻는데, 약 25.6%이다. 섞은 용액의 농도는 약 25.6%, 즉 100 mL당 에탄올이 약 25.6 mL 들어 있다.

원하는 용액을 만들려면 무엇으로 희석할까

조금 다른 질문을 해야 할 때도 있다. 이번에도 에탄올이 30% 들어 있는 용액 500 mL와 에탄올이 55% 들어 있는 둘째 용액이 있다고 하자. 40% 용액을 만들려면 첫째 용액에 둘째 용액을 몇 mL 섞어야 할까? 이번에도 혼합 방정식을 쓴다.

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

이번에 모르는 것은 V₂뿐이고 나머지는 모두 알고 있다. 앞의 경우와 달리 만들려는 용액이 정해져 있으므로 $c=\frac{40}{100}$을 알기 때문이다. 아는 값을 혼합 방정식에 대입한다.

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

방정식 전체에 100을 곱한다.

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

좌변의 곱을 계산하고 우변의 괄호를 전개한다.

$$15000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

양변에서 15,000을 뺀다.

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15000$$

양변에서 40 · V₂를 뺀다.

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15000$$

더하고 뺄 수 있는 것을 계산한다.

$$15\cdot V_2=20000-15000$$

우변을 계산한다.

$$15\cdot V_2=5000$$

양변을 15로 나눈다.

$$V_2=\frac{5000}{15}=333.333\dots$$

따라서 농도가 40%인 용액을 얻으려면 55% 용액을 약 333 mL(약 3분의 1 L) 부어야 한다. 계산이 맞는지 확인해 보자. 첫째 용액 500 mL에는 에탄올이 30% 들어 있었으므로 에탄올은 150 mL이다. 55% 용액 333 mL를 부으면 거기에 에탄올이 183 mL 들어 있다. 결국 부피가 500 mL + 333 mL, 즉 833 mL이고 에탄올이 150 mL + 183 mL, 즉 333 mL 들어 있는 용액을 얻는다. 비율을 계산하면 다음과 같다.

$$\frac{333}{833}\fallingdotseq 0.4$$

(반올림하면) 에탄올과 물의 40% 용액을 얻었다.