이차함수

이차함수는 a, b, c가 실수이고 a ≠ 0일 때 식 f(x) = ax² + bx + c로 나타낼 수 있는 함수이다. 일차함수의 그래프가 언제나 직선인 것처럼, 이차함수의 그래프는 언제나 포물선이다.

이차함수의 예

간단한 이차함수의 예로 f(x) = x² + 3x − 7이 있다. 이 함수의 그래프는 다음과 같다.

이차함수는 일반적으로 ax² + bx + c 꼴로 쓸 수 있다. 항 ax²을 이차항이라고 하는데, 모든 이차함수에는 이 항이 있어야 한다. 다음 항 bx는 일차항이라고 하며, 이차함수에 없어도 된다. 즉 0이어도 된다. 예를 들어 함수 f(x) = 5x² + 7도 이차함수이다. 마지막 항 c는 상수항이라고 하며, 이것도 없어도 된다. 함수 f(x) = x² + 3x − 7에서는 다음과 같다.

$$a=1,b=3,c=-7$$

왜 a가 1일까? x²은 사실 1 · x²을 뜻하므로 a = 1이다.

이차함수의 성질

먼저 정의역부터 보자. 이차함수의 정의역은 실수 전체의 집합 ℝ이다. 치역은 함수에 따라 다르지만 언제나 (양 또는 음의) 무한대까지 뻗는다. 또 이차함수는 언제나 꼭짓점의 한쪽에서는 증가하고 다른 쪽에서는 감소한다. 일차항이 0이면(b = 0) 이차함수는 우함수이다. 이차함수는 결코 일대일함수가 아니다.

위로 유계 또는 아래로 유계

이차함수는 언제나 위로 유계이거나 아래로 유계이다. 어느 쪽인지는 계수 a에 의해서만 정해진다. 계수 a가 양수이면 그래프는 “위로 올라가고” 글자 “U” 모양이 되어 함숫값이 어떤 값보다 작아지지 않는다(아래로 유계). 예로 함수 f(x) = 2x²의 그래프를 보자.

모든 함숫값(빨간 점 전체)은 −1보다 위에 있으므로 이 함수는 아래로 유계이다. 함수가 f(x) = −2x²이라면

이번에는 모든 함숫값이 1보다 아래에 있으므로 이 함수는 위로 유계이다.

볼록성

그래프가 어느 쪽으로 볼록한지도 계수 a에 따라 정해진다. 그래프가 “U” 모양이면 이차함수는 아래로 볼록하고, 뒤집힌 “U” 모양이면 위로 볼록하다. 즉 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록하고, a < 0이면 위로 볼록하다.

계수 a는 그래프의 폭에도 영향을 준다. 그 값이 0에 가까울수록 그래프는 넓어지고, 0에서 멀수록 좁아진다.

x축, y축과의 교점

함수의 그래프와 x축 또는 y축의 교점을 구하려면 간단한 방정식을 세워서 풀면 된다. 함수를 y = ax² + bx + c 꼴로 쓸 수 있다는 것만 기억하면 된다. 즉 x = 2에서의 y좌표는 모든 x에 2를 대입해서 구한다.

예를 들어 함수 y = x² − 4x + 3에서 x = 2일 때 y좌표는 2² − 4 · 2 + 3 = −1이다. 따라서 그래프는 분명히 점 (2, −1)을 지난다. x축과의 교점을 구하려면 y = 0일 때의 x의 값을 알아야 한다. x축과의 교점은 언제나 y좌표가 0이다. 다음 그래프를 보면 분명해진다.

그래서 식 y = x² − 4x + 3의 y에 0을 대입하고 방정식을 푼다. 구한 근이 교점의 x좌표이다.

$$x^2-4x+3=0$$

이것은 이차방정식이므로 보통의 방법으로 풀 수 있다. 예를 들어 (x − 1) · (x − 3)으로 인수분해하면 근이 x₁ = 1과 x₂ = 3임을 알 수 있다.

y축과의 교점도 같은 방법으로 구한다. 식 y = x² − 4x + 3에서 이번에는 x에 0을 대입한다. 결국 x = 0에서의 함숫값을 묻는 것이다.

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

따라서 x축과의 교점은 (1, 0)과 (3, 0)이고, y축과의 교점은 (0, 3)이다.

꼭짓점의 좌표를 구하는 방법

이차함수에서는 꼭짓점을 구하는 것이 아주 중요하다. 꽤 복잡한 공식을 외우지 않아도 되도록, 완전제곱식을 이용하는 다른 방법을 알아보자. 이차함수의 꼭짓점은 함수가 최솟값이나 최댓값을 갖는 점이다. 그래프가 다음과 같은 함수 f(x) = x² − 4x + 3은

점 (2, −1)에 꼭짓점이 있다.

이차함수의 일반형은 f(x) = ax² + bx + c이다. a = 1인 이 함수를 g(x) = (x + m)² + n 꼴로 바꾸면, (−m, n)이 이차함수의 꼭짓점이다(한국 교과서에서는 보통 y = a(x − p)² + q로 쓰고 꼭짓점은 (p, q)이다). 여기서는 (x − 2)² − 1 꼴을 얻고 싶다. 이 꼴은 어떻게 얻을까?

먼저 괄호 (x + m)만 쓰고, m에 이차함수의 계수 b의 절반을 대입한다. 계수 b는 −4이고 그 절반은 −2이므로 (x − 2)²을 얻는다.

다음 단계에서는 남는 부분을 빼야 한다. 이 괄호를 그대로 전개하면 원래 함수가 나오지 않는다. 괄호에서 m의 제곱을 빼고 원래 함수의 계수 c를 더해야 한다.

즉 괄호에서 (−2)²을 빼고 3(계수 c)을 더한다.

$$(x-2{)}^2-4+3$$

정리하면 다음과 같다.

$$(x-2{)}^2-1,$$

이것이 최종 결과이다. 함수가 m = −2, n = −1인 (x + m)² + n 꼴이므로 꼭짓점의 좌표는 (−m, n), 즉 (2, −1)이다.

계산이 맞는지 확인해야 한다. 이차함수 x² − 4x + 3을 (x − 2)² − 1 꼴로 바꾸었을 뿐이다. 이 새로운 꼴도 같은 함수를 나타내야 하므로 괄호를 전개하면 원래 식이 나와야 한다. (x − 2)² − 1을 전개해 보자.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

같은 함수가 나왔으므로 변형이 올바르다.