다항식

다항식은 변수 x와 덧셈, 곱셈, 그리고 음이 아닌 정수 지수의 거듭제곱만으로 이루어진 식이다. 다항식끼리는 더하고, 빼고, 곱하고, 나누고, 거듭제곱할 수 있다.

기본

간단한 다항식의 예는 다음과 같다.

$2 x^{2} + 5 x - 12$

일반적으로 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

여기서 x 앞에 있는 실수 a_n을 계수라고 하고, n을 다항식의 차수라고 한다. n은 a_n ≠ 0인 가장 높은 거듭제곱의 지수이다. 만약 a_n이 0이라면 그 계수가 붙은 변수 x는 사실상 사라진다. 0에 어떤 수를 곱해도 0이기 때문이다.

$0 \cdot x^{3} = 0.$

따라서 처음에 본 다항식의 차수는 2이다. 계수가 0이 아닌 항 가운데 x의 지수가 가장 큰 것이 2이기 때문이다. 다른 다항식도 보자.

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

이 다항식의 차수는 4이다(가장 큰 지수가 4이다). 다항식은 보통 차수가 높은 항부터 차례로 써서 가장 높은 거듭제곱의 항이 맨 앞에 오게 한다(내림차순). 그래서 앞의 다항식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

이 다항식에는 지수가 3인 항과 0인 항이 없다. 이것은 전혀 문제가 되지 않는다. 그 항들의 계수가 0이라고 생각하면 된다. 즉 다음과 같이 쓸 수 있다.

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

이렇게 쓰면 모든 항이 있지만 쓸데없이 알아보기 어렵다. 그래서 계수가 0인 항은 보통 생략한다.

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 꽤 간단하다. 지수가 같은 항(동류항)끼리 계수를 더하거나 빼기만 하면 된다. 즉 다음이 성립한다.

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

간단한 예는 다음과 같다.

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

더 긴 다항식을 더할 때는 변수의 지수가 같은 항끼리 모아야 한다.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

어떤 지수의 항이 한쪽 다항식에만 있으면 그대로 남는다(다른 다항식에도 그런 항이 있는데 계수가 0이라고 생각하자).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

다항식의 뺄셈은 덧셈과 같은데, 두 번째 다항식에 −1을 곱한다는 점만 다르다. 즉 모든 부호를 바꾼다. 예를 들면 다음과 같다.

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

이제 보통의 다항식 덧셈이므로 평소처럼 더하면 된다.

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

다항식에 음의 항이 있으면 이 변형 뒤에는 양의 항이 된다는 점에 주의하자.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

다항식의 곱셈

다항식을 곱할 때는 첫 번째 다항식의 각 항을 두 번째 다항식의 각 항과 곱한다. 계수는 보통의 실수처럼 곱하고, 변수의 지수는 거듭제곱의 계산 법칙에 따라 더한다. 예를 들면 다음과 같다.

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

이 예에서는 항이 하나인 다항식을 곱했기 때문에 모든 항끼리 곱하는 모습이 잘 드러나지 않는다. 조금 더 큰 예를 보자.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

다항식에 음의 부호가 있으면 곱셈에 그대로 반영된다.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

다항식의 정리

다항식을 정리할 때는 보통 다항식을 더 간단하게 만들려고 한다. 이때 분모와 분자에 같은 식 곱하기, 약분, 공통인수로 묶기, 공식 적용 같은 방법을 쓴다. 자주 쓰는 공식은 알아 두는 것이 좋다. 여기서는 그중 몇 가지를 필요할 때마다 소개한다. 가장 자주 쓰는 공식은 다음과 같다.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

이 공식이 어떻게 나왔는지 궁금하다면 직접 전개해 보면 된다.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

간단한 예부터 시작하자.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

왼쪽의 두 괄호를 앞의 공식으로 전개했다. 두 번째 괄호는 다음과 같이 전개했다는 점을 기억하자.

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

또 하나의 대표적인 공식은 다음과 같다.

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

두 번째 예제는 분수이다. 분자와 분모에 다항식이 있는데, 분수 전체를 깔끔하게 약분할 수 있도록 변형해 보자. 먼저 분자에는 첫 번째 공식을 거꾸로 적용하고, 분모에는 두 번째 공식을 적용한다. 마지막으로 (a + b)로 약분한다.

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

세 번째 예제에서는 공통인수로 묶기를 이용해 보자. 분자에서 먼저 3a³을 묶어 내고, 괄호 (4a² − 1)을 공식 a² − b²으로 인수분해한다. 이때 다음을 이용한다.

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

분모에서는 먼저 앞의 두 항을 곱하고, 마찬가지로 3a³을 묶어 낸 뒤 모두 약분한다.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

목차: 다항식, 다항식의 나눗셈, 다항식의 근, 다항식의 인수분해

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