Hukum kalis agihan

Hukum kalis agihan ialah sifat bagi dua operasi binari, misalnya penambahan dan pendaraban. Bagi pendaraban dan penambahan, hukum kalis agihan menyatakan bahawa kita boleh “mengembangkan kurungan”. Contohnya, jika kita mempunyai ungkapan

$$2\cdot (3+4)$$

kita tahu bahawa kita boleh mengembangkan kurungan itu dan memperoleh ungkapan lain

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Kedua-dua ungkapan memberikan hasil yang sama, iaitu 14. Kita boleh mengembangkan kurungan ini kerana dalam set nombor nyata, operasi pendaraban kalis agihan terhadap operasi penambahan. Secara umum, jika kita mempunyai dua operasi · dan +, kita katakan bahawa operasi · dalam set M kalis agihan terhadap operasi + jika

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

bagi semua a, b, c ∈ M. Contoh lain operasi yang kalis agihan ialah operasi dalam logik usulan, iaitu konjungsi ∧ dan disjungsi ∨. Bayangkan kita mempunyai pernyataan A, B dan C. Jika kita menyatakan “A dan (B atau C)”, kita menulisnya sebagai

$$A\wedge (B\vee C)$$

Oleh sebab konjungsi kalis agihan terhadap disjungsi, ungkapan itu juga setara dengan

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Dengan perkataan: “(A dan B) atau (A dan C)”. Sebagai contoh operasi yang tidak kalis agihan, ambil penambahan dan penolakan:

$$10-(5+3)$$

Jawapan yang betul sudah tentu 2, kerana selepas menambah dalam kurungan kita memperoleh 10 − 8, iaitu 2. Jika kita menggunakan hukum kalis agihan dalam pengiraan ini, kita akan memperoleh ungkapan:

$$(10-5)+(10-3)$$

Selepas mengira kurungan, kita memperoleh 5 + 7, iaitu 12. Kita lihat bahawa hasilnya salah, jadi penolakan tidak kalis agihan terhadap penambahan.

Contoh lain: sesetengah operasi matriks mematuhi hukum kalis agihan. Begitu juga vektor dalam ruang vektor. Operasi dalam suatu medan mesti kalis agihan.