Hukum kalis sekutuan

Hukum kalis sekutuan ialah sifat bagi operasi seperti penambahan atau pendaraban. Perhatikan dua ungkapan penambahan berikut:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Kedua-dua ungkapan hanya berbeza pada kedudukan tanda kurung. Adakah hasilnya juga berbeza? Kedua-dua ungkapan memberikan hasil yang sama, iaitu hasil tambahnya sentiasa 6. Jika kedudukan tanda kurung tidak mempengaruhi hasil, kita katakan bahawa operasi itu kalis sekutuan. Dengan lebih tepat, operasi a ∘ b kalis sekutuan jika

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Satu lagi operasi yang kalis sekutuan ialah pendaraban, kerana

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Operasi yang tidak kalis sekutuan

Penolakan tidak kalis sekutuan. Sebagai contoh, ambil ungkapan (10 − 4) − 3. Pertama, kita kira beza dalam kurungan dan memperoleh 6 − 3, iaitu 3. Namun, jika kita mengira 10 − (4 − 3), kita juga mengira kandungan kurungan dahulu dan memperoleh 10 − 1, iaitu 9. Oleh itu, operasi penolakan tidak kalis sekutuan.

Begitu juga, operasi pembahagian tidak kalis sekutuan. Sebagai contoh, ambil ungkapan (64 / 4) / 2. Pertama, kita kira kurungan dan memperoleh 16/2, iaitu 8. Namun, jika kita meletakkan kurungan di tempat lain, kita memperoleh 64 / (4 / 2). Selepas mengira kurungan, kita mempunyai 64 / 2, iaitu 32. Jadi, operasi pembahagian tidak kalis sekutuan.

Satu lagi operasi biasa yang tidak kalis sekutuan ialah kuasa:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Hukum kalis sekutuan melibatkan satu operasi sahaja!

Berhati-hati: hukum kalis sekutuan sentiasa melibatkan satu operasi sahaja. Jika kita mempunyai ungkapan dengan tiga nombor tetapi operasinya tidak sama, kita tidak boleh menggunakan hukum kalis sekutuan. Contohnya:

$$(1+2)\cdot 3$$

Ungkapan ini mengandungi dua operasi, iaitu penambahan dan pendaraban. Setiap operasi itu sendiri kalis sekutuan, tetapi dalam kes ini kita tetap tidak boleh menggunakan hukum kalis sekutuan. Kita tidak boleh mengubahnya menjadi

$$1+(2\cdot 3)$$

kerana ungkapan itu mengandungi dua operasi yang berbeza. Untuk menggunakan hukum kalis sekutuan, kedua-dua operasi mestilah penambahan atau kedua-duanya pendaraban.

Persilangan dan kesatuan

Persilangan set kalis sekutuan. Sebagai contoh, ungkapan

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

kita ubah dahulu dengan mengira persilangan set dalam kurungan:

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

Persilangan set ini ialah {1}. Jika kita mengalihkan kurungan, kita memperoleh

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

dan selepas mengira kurungan:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

Sekali lagi kita memperoleh {1}. Kita lihat bahawa kedudukan kurungan tidak penting, maka persilangan set kalis sekutuan. Begitu juga, kesatuan set kalis sekutuan.

Penggabungan perkataan (perangkaian rentetan)

Bayangkan suatu operasi penambahan bagi bahagian perkataan yang hanya bermaksud menyambungkan bahagian itu. Jadi, “kom” + “puter” sama dengan perkataan “komputer”. Operasi seperti ini kalis sekutuan. Contohnya, jika kita menulis (“per” + “pustaka”) + “an”, kita mula-mula menambah dalam kurungan dan memperoleh “perpustaka” + “an”, yang memberikan perkataan “perpustakaan”. Jika kita mengalihkan kurungan, “per” + (“pustaka” + “an”), selepas menambah dalam kurungan kita memperoleh “per” + “pustakaan”, yang juga memberikan perkataan “perpustakaan”.

Maksimum dan minimum kalis sekutuan

Bayangkan operasi a ∨ b yang memberikan nombor yang lebih besar antara dua nombor. Operasi seperti ini kalis sekutuan. Contohnya, (5 ∨ 10) ∨ 7 kita ubah menjadi 10 ∨ 7, dan hasilnya 10. Nombor 10 ialah yang terbesar antara ketiga-tiga nombor itu. Jika kita mengalihkan kurungan, kita memperoleh 5 ∨ (10 ∨ 7), kemudian 5 ∨ 10, iaitu 10 juga.

Minimum berkelakuan dengan cara yang sama.