Min harmonik

Min harmonik ialah salah satu jenis min yang biasanya digunakan apabila kita berurusan dengan nisbah.

Laju purata

Sebagai contoh, bayangkan kita menaiki kereta api untuk bercuti, dan laju purata kereta api itu ialah 120 km/j. Dalam perjalanan pulang, kita menaiki kereta api lagi melalui laluan yang sama, tetapi kali ini kereta api itu bergerak perlahan dengan laju hanya 40 km/j. Berapakah laju purata kereta api bagi keseluruhan perjalanan pergi dan balik? Kita mungkin tergoda untuk mengira laju purata dengan min aritmetik seperti berikut

$$\frac{120\text{km}/\text{j}+40\text{km}/\text{j}}{2}=80\text{km}/\text{j}$$

dan mengatakan bahawa laju purata ialah 80 km/j. Namun, jawapan ini salah. Kita boleh menunjukkannya dengan mudah. Katakan perjalanan pergi mengambil masa satu jam. Oleh sebab laju puratanya 120 km/j, kereta api itu bergerak sejauh 120 km dalam satu jam tersebut. Jika laju purata dalam perjalanan pulang ialah 40 km/j, kereta api itu memerlukan 3 jam untuk bergerak sejauh 120 km. Jadi, kereta api itu bergerak sejauh 240 km dalam masa 4 jam kesemuanya. Daripada sini, kita boleh mengira laju purata

$$\frac{240\text{km}}{4\text{j}}=60\text{km}/\text{j}$$

Jadi, min aritmetik telah mengecewakan kita. Bagaimanakah kita perlu mengira purata bagi dua laju 120 dan 40 supaya kita memperoleh jawapan yang betul?

Min harmonik

Sebagai ganti min aritmetik, kita boleh menggunakan min harmonik. Min ini dikira dengan membina pecahan yang pengangkanya ialah bilangan nilai yang dipuratakan. Dalam contoh kita, pengangkanya ialah 2 kerana kita mempunyai dua laju:

$$\frac{2}{?}$$

Penyebutnya pula ialah hasil tambah salingan kedua-dua laju. Bagi laju 120, salingannya ialah 120⁻¹, iaitu $\frac{1}{120}$. Kita memperoleh pecahan

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Pecahan dalam penyebut kita ungkapkan dengan penyebut sepunya:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Sekarang pecahan-pecahan itu mudah ditambah:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Pecahan ini kelihatan pelik, tetapi jangan risau, semuanya akan beres. Kita ubah pecahan ini kepada bentuk hasil darab seperti berikut:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Jika langkah ini mengelirukan anda, ingatlah bahawa membahagi dengan setengah sama dengan mendarab dengan dua. Jadi, apabila kita membahagikan dua dengan pecahan $\frac{4}{120}$, hal ini sama dengan mendarab dua dengan salingan pecahan itu, iaitu $\frac{120}{4}$. Sekarang kita hanya perlu mempermudahkan pecahan itu sedikit untuk memperoleh jawapan:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Min harmonik ialah 60, iaitu jawapan yang betul.

Rumus am min harmonik

Katakan kita mempunyai n nombor x₁, x₂, …, x_n. Min harmonik H bagi nombor-nombor itu dikira seperti berikut:

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Jika anda gemar tatatanda sigma, min harmonik juga boleh ditulis seperti berikut:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Sebagai contoh, min harmonik bagi empat nilai 1, 2, 3, 4 ialah

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1.92\end{array}$$