Verhoudingen

Verhoudingen gebruiken we meestal als we willen aangeven hoeveel van stof A er is ten opzichte van stof B. Bijvoorbeeld of er twee keer zoveel, de helft en dergelijke van stof A moet zijn. Het hoeft natuurlijk niet alleen om een verhouding tussen twee stoffen te gaan, er kunnen er ook meer meedoen.

Relatieve verhoudingen

Verhoudingen zijn altijd relatief, het is geen absolute grootheid. Als er in een recept staat “voeg een halve kilo suiker en een kwart kilo vlees toe”, is dat iets anders dan wanneer er stond “voeg wat vlees toe en twee keer zoveel suiker”. In het eerste geval blijft ons niets anders over dan een halve kilo suiker te kopen, maar in het tweede geval is het genoeg als we maar twee keer zoveel suiker hebben als vlees. In beide gevallen koken we echter een walgelijke brij.

Verhoudingen schrijven we meestal met een dubbele punt. Bijvoorbeeld 1:2 of 5:4. Wat betekent deze notatie? De eerste notatie betekent dat de eerste stof in de helft van de hoeveelheid van de tweede stof aanwezig moet zijn. De tweede notatie zegt dan weer dat stof A er 5 keer in moet zitten, terwijl dezelfde hoeveelheid stof B er maar vier keer in zit.

Als we een drankje “Zomerzon” willen mengen, met een verhouding sinaasappelsap tot ananassap van 5:2, betekent dat dat we in een glas 5 deciliter sinaasappelsap en 2 deciliter ananassap schenken. Omdat het om een verhouding gaat, voldoen we aan de opgave ook als we 2,5 deciliter sinaasappelsap en 1 deciliter ananassap schenken. Het is gewoon genoeg als er 2,5 keer zoveel sinaasappelsap als ananassap in zit. Op het getal 2,5 zijn we gekomen door 5 / 2 uit te rekenen. Als we dus een verhouding van stoffen A tot B van 5:1 hebben, betekent dat dat er vijf keer zoveel van stof A moet zijn (5 / 1). Bij een verhouding van 7:3 zou het ongeveer 2,3 keer zoveel zijn (7 / 3). Bij een verhouding van 1:1 is er van beide stoffen evenveel en tot slot zou bij een verhouding van 2:3 stof B 1,5 keer zoveel zijn (3 / 2) of zou stof A maar ongeveer 0,67 keer de hoeveelheid van stof B zijn (2 / 3).

Voorbeelden

We hebben in onze portemonnee duizend euro, in contanten. Verder hebben we in de tuin twee helpers die de hele nacht in onze tuin een hoge heg hebben geplant, zodat de buurvrouw ons niet langer door het raam van de woonkamer kan bespioneren. Omdat Sem sneller werkte dan Daan, krijgt hij meer geld, en wel in de verhouding 7:3. Hoeveel geld krijgen ze dan voor hun werk, als we aannemen dat we niet krenterig zijn en ze de hele duizend euro geven?

Het is eenvoudig te berekenen. We hebben de verhouding 7:3. Sem krijgt dus zeven delen, terwijl Daan maar drie delen krijgt. We tellen de verhoudingsgetallen op, 7 + 3 = 10, en delen de duizend euro die we ze willen geven door dit getal: 1000 / 10 = 100. Zo hebben we uitgerekend hoeveel euro bij één deel hoort. Sem krijgt zeven delen: 100 · 7 = 700 en Daan drie delen: 3 · 100 = 300. En het is opgelost: Sem krijgt 700 euro en Daan 300.

Dit is de eenvoudigste manier om opgaven met verhoudingen op te lossen. De verhouding drukt eigenlijk alleen de delen van een bepaald geheel uit. Als de verhouding 1:2 is, betekent dat dat stof A 1/3 van het geheel is en stof B 2/3. Het zijn gewoon anders geschreven breuken. De noemer vinden we door alle delen van de verhouding op te tellen en voor de teller vullen we gewoon de gegeven verhoudingsgetallen in. Als we alle delen optellen, moet het geheel eruit komen, dus één. 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. We kunnen het ook uitdrukken in procenten: 33,3% en 66,7% (ongeveer). Nog een eenvoudig voorbeeld:

Lotte en Bram zijn al vrienden sinds hun jeugd, maar helaas ging ieder van hen naar een andere universiteit, die hen lange tijd uit elkaar haalde. Lotte studeerde geschiedenis en Bram studeerde wiskunde. Na jaren zagen ze elkaar weer in hun favoriete café “De Natte Visser” en raakten aan de praat. Lotte vertelde Bram dat ze sinds ze elkaar niet hadden gezien zestien partners had gehad (Lotte was een heel mooi meisje en ook een beetje wispelturig). Maar Bram was een slimmerik en vertelde Lotte niet precies hoeveel vriendinnen hij had gehad, hij zei alleen dat de verhouding van haar partners tot zijn vriendinnen 8:3 is. Typisch een wiskundige… Maar Lotte was niet alleen mooi, ze was ook slim, dus ze begon te rekenen: goed, mijn zestien partners komen overeen met de acht in de verhouding die Bram me noemde. Dus als ik wil weten hoeveel jongens bij één deeltje van de verhouding horen, moet ik delen: 16 / 8 = 2. Bij één deeltje horen dus twee partners. Bram heeft drie deeltjes, dus het aantal vriendinnen van Bram is twee keer drie, en dat is zes. Bram was het ermee eens en bestelde nog een drankje. Na deze avond ging de score van allebei met precies één omhoog, maar dat is een ander verhaal.

Emma werkte als barvrouw in de skatebar “Sk8 is Gr8”. Op een avond kwam een licht aangeschoten man aan de bar en wilde een speciaal gemixt drankje bestellen. Hij gaf de barvrouw de volgende instructies: “Meisje, ik wil het in een groot glas van een halve liter. Ik wil daarin bananensap, cola en koffie. Alles in de verhouding 5:2:3.” Barvrouw Emma verbaasde zich, maar de klant is koning. Ze ging aan de slag. Eerst telde ze alle verhoudingsgetallen op: 5 + 2 + 3 = 10. In een glas van een halve liter past 500 ml vloeistof. Ze moest dus uitrekenen hoeveel milliliter bij één deel van de verhouding hoort. Dat deed ze eenvoudig: 500 / 10 = 50. Bij één deel hoort 50 milliliter. Dus schonk ze in het glas 5 · 50 = 250 ml bananensap, 2 · 50 = 100 ml cola en 3 · 50 = 150 ml koffie. Toen de man voor de tweede keer verscheen, vroeg hij om de sleutel van de wc.

Schaal van een kaart

Een klassieke toepassing van verhoudingen is ook de schaal van een kaart.