Een variabele vrijmaken

Hoe maak je uit een ingewikkelder verband of een breuk één bepaalde variabele vrij? Deze techniek gebruik je vooral bij het werken met allerlei formules waarin meer variabelen voorkomen. In combinatie met andere formules kunnen we ongekende prestaties leveren, waarbij we uit niets alles afleiden.

Eenvoudige lineaire uitdrukkingen

Neem deze formule: ax + b = c. Hoe maken we in deze denkbeeldige formule x vrij? We beginnen altijd door alle termen met de variabele die we vrijmaken naar de linkerkant te brengen en de rest naar de rechterkant. In theorie maakt het niet uit wat aan welke kant staat, maar het is gebruikelijk om de onbekende die we vrijmaken links te hebben. Dus eerst brengen we b naar de rechterkant, dat wil zeggen: we tellen aan beide kanten van de vergelijking −b op:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

De termen met de variabele staan nu aan één kant, maar de a staat ons nog in de weg. Hoe raken we die op een elegante manier kwijt? Wat moeten we met de uitdrukking ax doen om alleen x te krijgen? Juist, we delen de uitdrukking, en daarmee de hele vergelijking, door a, oftewel we vermenigvuldigen met $\frac{1}{a}$. De waarde van a moet daarbij ongelijk zijn aan nul (we kunnen niet delen door nul). Als we dat doen, krijgen we:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Klaar. Nog een voorbeeld:

$$2ax-3bx=10a$$

Ook hier moeten we x vrijmaken. De termen met de onbekende staan al aan de linkerkant, dus dat scheelt ons wat werk. Het probleem is echter dat er twee termen met de onbekende staan. Die situatie lossen we op door buiten haakjes te brengen. Aan de linkerkant van de vergelijking brengen we x buiten haakjes en we krijgen:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Toen we in het vorige voorbeeld de uitdrukking ax hadden en alleen x wilden krijgen, hebben we de hele vergelijking met $\frac{1}{a}$ vermenigvuldigd. Nu hebben we in de vergelijking de uitdrukking x(2a − 3b) en willen we weer x weten. We doen hetzelfde: we delen de hele vergelijking door de uitdrukking (2a − 3b). Wees niet bang, we mogen de vergelijking echt door de hele uitdrukking tussen haakjes delen, er moet alleen gelden 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Breuken

Als we een uitdrukking met breuken hebben, gebruiken we dezelfde bewerkingen om vergelijkingen om te vormen, we moeten alleen opletten dat we niet per ongeluk door nul delen of met nul vermenigvuldigen. Een voorbeeld:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

We willen x vrijmaken. We vermenigvuldigen de hele vergelijking met x, maar we moeten er wel de voorwaarde bij zetten dat x ≠ 0. Dat geldt sowieso, want in de vergelijking staat de breuk $\frac{a}{x}$ en x staat in de noemer, en door nul kunnen we niet delen. We krijgen zo de vergelijking:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Gebruik bij het vrijmaken van de onbekende gewoon de gebruikelijke equivalente bewerkingen.